¿Hallar el logaritmo de una matriz?

Question

Encuentre $B$ si $A=e^B$ y $A=\begin{bmatrix} 2&1&0\\ 0&2&0\\ 0&0&4\\ \end{bmatrix}$ .

Además, me encantaría que se diera alguna observación general(Mejor enfoque). He visto el artículo de la wiki sobre el registro de una matriz, pero era demasiado complicado (para mí).

Answer 1

Puede utilizar el estructura de bloques de $A$ : $$ A = \begin{pmatrix} C & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = e^B = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k} B^k \Rightarrow B = \begin{bmatrix} D & 0 \\ 0 & x \end{bmatrix} $$ por lo que podemos suponer $4 = e^x \Rightarrow x = \ln(4)$ . Para las matrices en bloque obtenemos $$ C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = e^D = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} D^k $$ y probar con una matriz triangular superior $$ D = \begin{pmatrix} y & z \\ 0 & y \end{pmatrix} $$ y obtener los poderes $$ D^2 = \begin{pmatrix} y & z \\ 0 & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y & z \\ 0 & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y^2 & 2 y z \\ 0 & y^2 \end{pmatrix} \\ D^3 = \begin{pmatrix} y^2 & 2 y z \\ 0 & y^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y & z \\ 0 & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y^3 & 3 y^2 z \\ 0 & y^3 \end{pmatrix} \\ \vdots \\ D^k = \begin{pmatrix} y^k & k y^{k-1} z \\ 0 & y^k \end{pmatrix} \quad (k \ge 1) $$ que sugieren $$ C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = e^D = \begin{pmatrix} e^y & e^y z \\ 0 & e^y \end{pmatrix} $$ así que $y = \ln(2)$ y $z = 1/e^y = 1/2$ . Esto da $$ B = \begin{pmatrix} \ln(2) & 1/2 & 0 \\ 0 & \ln(2) & 0 \\ 0 & 0 & \ln(4) \end{pmatrix} $$

Answer 2

Encuentre una expresión general para $(A-2I)^n$ y aplicar la serie de potencias para $\log x$ en los poderes de $(x-2).$