Generalización de la desigualdad de Hoeffding

Question

Según la desigualdad de Hoeffding, si $X_1,\ldots,X_n$ son variables aleatorias independientes con $\mathbb{P}(X_i \in [a_i,b_i]) = 1 \; \forall i = 1,\ldots,n$ entonces $$\mathbb{P}(\bar{X_n} - \mathbb{E}[\bar{X_n}] \geq t) \leqslant \exp\left(-\frac{2t^2n^2}{\sum_{i=1}^{n}(b_i - a_i)^2}\right) \quad \forall t > 0.$$ ¿Existe algún límite para la probabilidad del suceso $\{\bar{X_n} - c\mathbb{E}[\bar{X_n}] \geqslant t\}$ para cualquier constante $c$ . La desigualdad de Hoeffding es sólo un caso especial de este evento cuando $c = 1$ .

Answer 1

Para limitar este suceso, basta con aplicar la desigualdad de Hoeffding de la forma habitual, sustituyendo $t$ con $t + (c - 1)\mathbb{E}[\bar{X_n}]$ .