Que $(X, d)$ ser un espacio métrico, y que $(x_n)$ ser una secuencia de $X$. Cómo ver que si $(x_n)$ tiene un subsequence de Cauchy, entonces, para cualquier secuencia decreciente de positivo $\epsilon_k \to 0$, hay un subsequence $(x_{n_k})$ $(x_n)$ tal que % $ $$d(x_{n_k}, x_{n_l}) \le \epsilon_k \text{ for all }k \le l?$
Respuesta
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Es suficiente para mostrar la información de cada secuencia de Cauchy tiene una larga del tipo que usted describe (debido a una larga de una larga es un subseqeunce de la secuencia original). Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, supongamos $(x_n)$ es de por sí una secuencia de Cauchy. Para cada una de las $k$, la condición de Cauchy garantiza que no existe $n_k$ tal que $i,j \geq n_k$ implica $d(x_i,x_j) < \epsilon_k$. Sin pérdida de generalidad, $n_1 < n_2 < n_3 <\ldots$. Esto se debe a que una de las $n_k$ más grande no destruir su propiedad, por lo que usted puede venir para arriba con un montón de procedimientos para corregir la secuencia de aumentar. Por ejemplo: \begin{align*} n_1' &= n_1 \\ n_2' &= \max\{n_2,n_1'\} + 1 \\ n_3' &= \max\{ n_3, n_2'\} +1 \\ n_4' &= \max\{n_4,n_3'\} + 1 \\ & \vdots \end{align*}
Ahora $(x_{n_k})$ es un subsequence con la propiedad deseada. Si $k \leq \ell$ $n_k,n_\ell$ ambos $\geq n_k$, de modo que $d(x_{n_k},x_{n_\ell}) \leq \epsilon_k$.
