Límite Supremum e Infimum. Lucha contra el concepto

Question

Me cuesta entender qué es el límite supremum/infimum. Me han dicho que no es lo mismo que "el límite de un supremum de un conjunto" (lo cual tiene sentido ya que el supremum/infimum suele ser un número).

He consultado dos libros de análisis, pero ninguno de ellos parece ser capaz de transmitir lo que intenta decir.

Tengo un ejemplo en mi cuaderno que puede aclarar mi confusión

Ex. Considere $\left \{-200,100,1,2,-1,2,-1,1,2,-1 \right \}$

Entonces dejemos que $v_k = \sup \left \{a_n : n \geq k \right \}$ y $\limsup_{n\to\infty} a_n= \lim_{k\to\infty} v_k=2$ y $\liminf_{n\to\infty} a_n=-200$

¿Puede alguien explicarme el razonamiento (sin omitir ningún detalle) de las respuestas? Creo que tengo una sensación para el liminf, pero no limsup

Answer 1

Recordemos primero las definiciones de límite superior y límite inferior. Para una secuencia $\{a_n\}$ son $$\limsup_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{k\geq n} a_k, \quad \liminf_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \inf_{k \geq n} a_k.$$ Recordemos que el supremum es el menor límite superior y el infimum es el mayor límite inferior. Por lo tanto, las expresiones $\sup_{k \geq n} a_k$ y $\inf_{k \geq n} a_k$ son los límites superior e inferior del colas de la secuencia, observando sólo los términos $k \geq n$ .

Así que el límite superior está preguntando, ¿cómo de grandes pueden ser finalmente las colas de la secuencia? Del mismo modo, el límite inferior está preguntando, ¿cómo de pequeñas pueden ser las colas de la secuencia?

Ejemplo: Sea $a_n = \{100, -100, -1, 1, -1, 1, -1, 1, \ldots\}$ . Entonces $\sup_n a_n = 100$ , $\inf_n a_n = -100$ pero el $\limsup$ ignora todos los términos grandes que comienzan en la parte finita de la secuencia, por lo que tenemos $\limsup a_n = 1$ . Del mismo modo, el $\liminf$ ignora todos los términos pequeños del principio, así que $\liminf a_n = -1$ .

En cuanto al ejemplo que has puesto en tu pregunta, la secuencia que has dado no es una secuencia infinita por lo que $\limsup$ y $\liminf$ no están definidos.

Answer 2

Me gustaría añadir a la respuesta de Christopher A. Wong que el $\liminf$ es el punto de acumulación más pequeño, mientras que el $\limsup$ es el más grande. Además, si se tiene un conocimiento de la $\liminf$ ya, entonces considere $\limsup a_n = -\liminf (-a_n)$ .