Derecho continuo proceso estocástico

Question

Puede alguien sugerir cómo probar un derecho continuo proceso estocástico es medible?

Gracias Indrajit

Answer 1

Deje $(X_t)_{t\geq 0}$ ser un derecho-continuo proceso estocástico. Para cada $n\in\mathbb{N}$ definimos un proceso $(X_t^n)_{t\geq 0}$ dada por $$ X_t^n(\omega)=X_{i/2^n}(\omega)\quad \text{si } \tfrac{i-1}{2^n}\leq t<\tfrac{i}{2^n}\; \text{y }\geq 1. $$

Demostrar que para cada una de las $n\in\mathbb{N}$ el proceso de $(X_t^n)_{t\geq 0}$ es de hecho un importante proceso.

Convencerse de que el derecho de continuidad se asegura de que $X_t(\omega)=\lim_{n\to\infty} X_t^n(\omega)$ por cada $(t,\omega)\in [0,\infty)\times \Omega$. A la conclusión.

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Para mostrar que $(X_t^n)_{t\geq 0}$ es un medibles proceso para cada $n\in\mathbb{N}$, se nota que $$ \{(t,\omega)\mediados de X_t^n(\omega)\in B\}=\bigcup_{i=1}^\infty \left[ \tfrac{i-1}{2^n},\tfrac{i}{2^n}\right[\times \{X_{i/2^n}\in B\} $$ para cada $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$.