¿Qué es un nombre adecuado para números como $a + b\sqrt{c}$

Question

La motivación para esto es encontrar una sucinta nombre para un tipo de datos en un módulo de Python.

Supongamos que elegir un número entero $c$ y quiero hablar acerca de un conjunto de números de la forma $a + b\sqrt{c}$ donde $a$ $b$ son números racionales. Si $c = -1$, por ejemplo, luego de este conjunto es llamado el conjunto de Gauss Racionales. Por supuesto, se suele pensar sólo en los valores de $c$ tal que $|c|$ no es cuadrado. Si $|c|$ es un cuadrado, por ejemplo si $c = 4$, entonces obtendremos el conjunto de los números racionales (si $c$ es no negativa) o el conjunto de Gauss Racionales (de lo contrario).

Supongamos, por ejemplo, que el $c = 2$. ¿Cuál sería el conjunto de números de la forma $a + b\sqrt{2}$ ($a$, $b$ racional) se llama?

Un evidente la generalización sería cubo y superior de las raíces, por ejemplo, números de la forma $a + b \times 2^{1/3} + c \times 2^{2/3}$ donde $a$, $b$ y $c$ son racionales.

Answer 1

Desde $\Bbb Q(\sqrt c)=\{a+b\sqrt c\colon a,b\in \Bbb Q\}$, se puede llamar a los elementos de este conjunto, se $\sqrt c\text{-rationals}$.

Answer 2

La notación estándar para $\{a+b\sqrt{2}:a,b \in \mathbb{Q}\}$$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$. Usamos los corchetes cuando estamos pensando en él como un anillo, con la suma y la multiplicación se define en la forma habitual.

Como sabéis $\mathbb{Q}[x]$ es el anillo de polinomios en $x$ con coeficientes racionales. La definición estricta de $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$$\{p(\sqrt{2}) : p \in \mathbb{Q}[x]\}$. Lo que pasa es que las cosas como $a_0 + a_1\sqrt{2} + a_2(\sqrt{2})^2 + \cdots + a_n(\sqrt{2})^n$ todos se reducen a $a + b\sqrt{2}$ cuando termines de simplificación.

El campo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ se define a ser $\{p/q : p,q \in \mathbb{Q}[\sqrt{2}]\}$. Como un conjunto tenemos $\mathbb{Q}[\sqrt{2}] = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$.

En el caso de la generalización $a + b\times 2^{1/3} + c\times 2^{2/3}$, esto sería $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$. La definición formal de $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$$\{p(\sqrt[3]{2}) : p \in \mathbb{Q}[x]\}$. De nuevo, las cosas como $a_0 + a_1\sqrt[3]{2} + a_2(\sqrt[3]{2})^2 + \cdots + a_n(\sqrt[3]{2})^n$ parecerá $a+b\sqrt[3]{2} + c(\sqrt[3]{2})^2$ cuando haya terminado.

Usted puede agregar otras cosas, por ejemplo, \begin{array} 1\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}] &=& \mathbb{Q}[\sqrt{2}][\sqrt{3}] = \{ a+b\sqrt{3} : a,b \in \mathbb{Q}[\sqrt{2}]\} \\ &=& \{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6} : a,b,c,d \in \mathbb{Q}\} \end{array}

Cualquier generalización que usted puede venir para arriba con la voluntad de ser de la forma $\mathbb{Q}[\alpha_1,\ldots,\alpha_k]$ donde $\alpha_i \in \mathbb{C}$. Por supuesto, no hay ningún punto de la elección de $\alpha_i \in \mathbb{Q}$. Una vez que usted ha $\operatorname{i}$ involucrados, no hay punto de tener cualquier otra $\alpha_i \in \mathbb{Q}[\operatorname{i}]$ (Gaussiano racionales).

Answer 3

Es posible que desee explorar el concepto de un campo de número. Hay tan muchos diversos campos de número (finito de grados de campo de las extensiones de los números racionales) que no son sólo nombres estándar para los elementos de muy pocos de ellos. Elementos de un campo de número de haría. Todos los números que usted está describiendo son números algebraicos. No está claro para mí por qué usted quiere tener un nombre para los números específicos que están hablando - pero usted puede estar interesado también en el concepto de un entero algebraico que se ve que es una idea extraña a primera vista y fuera de contexto, pero resulta ser el derecho de la generalización de entero en el campo de número de contexto y también resulta ser muy útil.

En esta cuestión, como en el seguimiento de uno, obtendrás mejores respuestas si usted dio más explicación de por qué usted está interesado en estos números.

Si usted está utilizando una clase especial de números en algún ensayo o artículo que usted está escribiendo, siempre se puede definir un nombre para el propósito de la ponencia.

Answer 4

Cuando c = -1 , se le suele llamar que establece como números complejos.

Cuando c = $\sqrt 2$, podemos establecer como surds (de tipo $\sqrt 2$) o simplemente surds porque es la más sencilla.