similar matrices en el análisis de

Question

Supongamos $A$ $B$ son dos matrices o limitada a los operadores de esos que $A=\lim_{n\to\infty} A_n$ $B=\lim_{n\to\infty} B_n$ para una secuencia de matrices o los operadores de $A_n$$B_n$. (El límite es de ser entendida como la matriz o el operador de la norma.) Supongamos además que para cada $n$, $A_n$ es similar (es decir, conjugado) a $B_n$.

De lo anterior se sigue que el $A$ es similar a $B$? Creo que la respuesta es positiva, al menos en algunos casos, por ejemplo cuando se $A_n$ $B_n$ son matrices y son ortogonalmente similares.

Me pregunto lo general, las declaraciones pueden ser probadas (incluso mediante la modificación de las condiciones, modos de convergencia, etc) para esta configuración y en qué casos contraejemplos puede ser construida. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

La respuesta es no. Como contraejemplo, considere la posibilidad de secuencias definidas por $$ A_n = A = \pmatrix{0&1\\0&0}\\ B_n = \pmatrix{0&1/n\\0&0}, \quad B = 0 $$ Aunque cada una de las $A_n$ es similar para cada una de las $B_n$, el límite de $A$ no es similar a la de límite de $B$.

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Otro contraejemplo: $$ A_n = \pmatrix{1/n & 1\\0&0}, \quad B_n = \pmatrix{1/n & 0\\0&0} $$

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Para ortogonal de similitud: en efecto, es cierto (para matrices) que si cada una de las $A_n$ es ortogonal a cada uno de los $B_n$, entonces los límites de $A$ $B$ son también ortogonalmente similares. Para demostrar esto, basta con aplicar la siguiente hecho:

Teorema: Dos matrices $P$ $Q$ son ortogonalmente similar iff para cada palabra $w$ en dos generadores, tenemos $$ \operatorname{trace}(w(P,P^*)) = \operatorname{trace}(w(Q,Q^*)) $$

Ahora, basta con señalar que para cualquiera de dichas $w$, tenemos $$ \operatorname{trace}(w(A_n,A_n^*)) \a \operatorname{trace}(w(a,^*)) $$ lo que significa que desde cada una de las $A_n$ es ortogonalmente similar a la correspondiente $B_n$, $A$ debe ser ortogonal similar a $B$.