Evaluación de puntos de un funcional lineal sobre un Ultrapower

Question

Deje $E$ ser un espacio de Banach y $(E)_{\mathcal U}$ ser un ultrapower para algunos ultrafilter $\mathcal U$ en un conjunto de índices $I$.

Se menciona en un documento que $(E')_{\mathcal U}$ puede ser , naturalmente, incrustado en $(E)_{\mathcal U}'$ (donde yo lo uso $'$ a indicar la normativa espacio dual).

Sólo quiero aclarar que en este espacio natural de la incrustación está dado por la siguiente acción.

$$(\varphi_{i})_{\mathcal U}:(x_{i})_{\mathcal U}\mapsto \lim_{i\to\mathcal U}\varphi_{i}(x_{i})$$

Es esto correcto? (lo siento si he elegido pobres etiquetas)

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$\bf{\text{Definition}}$:

$\lim_{i\to \mathcal U}x_i = x$ en un espacio topológico $X$ si para toda vecindad $U$$x, \{i\in I : x_i\in U\}\in \mathcal U$.

Answer 1

Sí, eso es correcto. Funciona porque el $E_{\mathscr{U}}$ no es el modelo completo de la teoría de la ultrapower: sólo consideramos delimitada secuencias de $x=\langle x_k:k\in\Bbb N\rangle$, por lo que el $\mathscr{U}\text{-}\lim_k\|x_k\|$ existe, y nos pusimos $\|x\|_\infty=\mathscr{U}\text{-}\lim_k\|x_k\|$. Que ya se corta la infinitos elementos de la plena ultrapower, y además nos tomamos el cociente por el ideal de la $\{x:\|x\|_\infty=0\}$, la identificación de infinitesimalmente diferentes elementos.

Del mismo modo, si $\langle\varphi_k:k\in\Bbb N\rangle_{\mathscr{U}}\in(E')_{\mathscr{U}}$, entonces por definición no es un $U\in\mathscr{U}$ tal que $\{\|\varphi_k\|:k\in U\}$ está acotada. De ello se desprende que hay un $U\in\mathscr{U}$ tal que $\{\varphi_k(x_k):k\in U\}$ es limitado y que, por ende, $\mathscr{U}\text{-}\lim\varphi_k(x_k)$ existe, y es sencillo comprobar que el mapa está delimitada lineal funcional en $E_{\mathscr{U}}$.