solución de una desigualdad

Question

Resolver la desigualdad: $\displaystyle \frac{1}{x-6}\le 3$

solución:

\begin{align*}\frac{1}{x-6}& \le 3 \\ x-6& \le \frac{1}{3} \\x& \le 6+\frac{1}{3}\\ x&\le19/3\end{align*}

sin embargo, para valores de $x\le 6$, desigualdad vale también como lado izquierdo proporciona un valor negativo. pero no encuentro la solución. ¿Qué me falta?

Answer 1

Sugerencia: $$\frac{1}{x-6} \leq 3 \iff \frac{1}{x-6} - 3 \leq 0 \iff \frac{19-3x}{x-6} \leq 0 \iff \frac{3x-19}{x-6} \geq 0$ $

¿Lo puede tomar desde aquí?

Answer 2

El primer paso es malo. Si $A\le 3$, lo que no quiere decir $\dfrac 1 A\le \dfrac 1 3$. Esto no significa $\dfrac 1 A \ge \dfrac 1 3$ si $A$ es positivo, pero no podemos asumir que es positivo en este caso.

Si escribo esto como $\dfrac 1 {x-6} - 3\le 0$, a continuación, utilizar un común denominador para obtener una fracción, a continuación, hacer la rutina de simplificaciones, usted estará bien en su camino hacia la solución de este.

Answer 3

Si $x < 6$, $x - 6$ es negativo, por lo que multiplicando ambos lados por $x-6$ invierte la desigualdad. Por lo tanto $1 \ge 3(x - 6)$ o $19 \ge 3x$, lo cual es cierto para todos los $x < 6$.

Answer 4

Sugerencia:

$a<b\iff\dfrac1a>\dfrac1b$ es verdadera sólo si $a$ $b$ tienen el mismo signo.

Por lo tanto, usted tiene que considerar dos casos.

Answer 5

Con una variable, el más sencillo de los casos. Si $x=6$ no está definido. Si $x<6$, como se señaló en el lado izquierdo es negativo, y la desigualdad trivialmente sostiene.

Si $x>6$, podemos multiplicar todo por la cantidad positiva $x-6$, y, a continuación, debería ser fácil.

Al final tome la Unión, de la capacidad de las regiones que usted consigue.