Cómo podemos encontrar una fórmula asintótica para $$\sum_{\substack{1\leq k\leq n \\ (n,k)=1}}f(k)?$ $ $f$ es alguna función y $(n,k)$ es el MCD de $k$ y $n$. Yo estoy particularmente interesado en el caso de $$\sum_{\substack{1\leq k\leq n \\ (n,k)=1}}\frac{1}{k}.$ $ que saber sobre el resultado % $ $$\sum_{\substack{1\le k\le n\\(n,k)=1}}k=\frac{n\varphi(n)}{2}$, que fue discutido aquí, pero no sé si puedo utilizarlo en el caso de $f(k)=1/k$.
Respuesta
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Sugerencia: Trate de usar el hecho de que $\sum_{d|n} \mu(d)$ es un indicador de la función de al $n=1$. Esto nos permite hacer lo siguiente para cualquier función de $f$:
$$\sum_{n\leq x}\sum_{k\leq n,\ \gcd (k,n)=1} f(k,n)=\sum_{n\leq x}\sum_{k\leq n} f(k,n) \sum_{d|k, \ d|n} \mu (d) =\sum_{d\leq x} \mu(d) \sum_{n\leq \frac{x}{d}}\sum_{k\leq n} f(dk,nk).$$
Este método es muy general, y trabaja en un número sorprendentemente grande de situaciones. Me animo a probarlo.
Observación: el Uso de este enfoque llego $$\sum_{n\leq x}\sum_{k\leq n,\ \gcd(k,n)=1} \frac{1}{k}=\frac{6x}{\pi^{2}}\log x+\left(-\frac{\zeta^{'}(2)}{\zeta(2)^2}+\frac{6\left(\gamma-1\right)}{\pi^{2}}\right)x+O\left(\log^{2}x\right).$$
Edit: he hecho un ligero error de cálculo en mi comentario, falta el factor de $\zeta(2)^2$ $\zeta^{'}(2)$ plazo, y se han actualizado los asintótica.
