Valores especiales de $p$-ádico $L$-funciones.

Question

Este es un muy ingenua pregunta, en realidad, y tal vez la respuesta es bien conocido. En otras palabras, ADVERTENCIA: no experto escribe.

Mi entendimiento es que hoy en día hay toda una serie de conjeturas que, esencialmente, predecir (quizás hasta un signo) el valor de $L(M,n)$ donde $M$ es un motivo, $L$ es su $L$-función, y $n$ es un número entero. Mi comprensión de la historia es que (excluyendo obras clásicas en el rango 1 motivos de antes de la guerra) Deligne se dieron cuenta de cómo unificar los resultados conocidos sobre $L$-funciones de los campos de número y de la B-SD conjetura, en su Corvallis papel, en donde él hizo las predicciones de $L(M,n)$, pero sólo hasta un número racional, y sólo por $n$ crítico. Luego Beilinson extendido de estas conjeturas para predecir $L(M,n)$ (o tal vez su líder plazo si hay un cero o un poste) hasta un número racional, y, a continuación, Bloch y Kato fue a clavar el número racional.

Hoy en día, aunque, muchas motivaciones tienen $p$-ádico $L$-funciones (el juguete de los ejemplos de los campos de número y curvas elípticas sobre $\mathbf{Q}$, quizás el de los ejemplos que inspiró Deligne), y estos a $p$-ádico $L$-normalmente, las funciones de interpolación clásica $L$-funciones a valores críticos, pero la relación entre el $p$-ádico y clásicos $L$-la función es (en mi mente) mucho más tenue de distancia de estos puntos (aunque creo que he visto algunas fórmulas para $p$-ádico zeta funciones en $s=0$ $s=1$ que se parecen a fórmulas clásicas relacionadas con la aritmética de los invariantes de la número de campo).

Así que, por supuesto, mi pregunta es: ¿hay una conjetura de predecir el valor de $L_p(M,n)$ $n$ un entero, y $L_p$ $p$- ádico $L$-la función de un motivo? Por supuesto que la pregunta apenas tiene sentido, así que aquí es más concreto: se puede hacer una conjetura diciendo lo $\zeta_p(n)$ debe ser (quizás hasta un elemento de $\mathbf{Q}^\times$) para un número entero $n\geq2$ $\zeta_p(s)$ $p$- ádico $\zeta$-a la función? Mi comprensión de la teoría de Iwasawa es que lo único que se dice realmente la información acerca de los lugares donde $\zeta_p(s)$ se desvanece, y no sobre valores reales---Iwasawa teoría es normalmente sólo se preocupa con el ideal generado por la función (que yo sepa). Además, que yo sepa, $p$-ádico $L$-son funciones, no se espera que las ecuaciones funcionales, por lo que el hecho de que entendemos $\zeta_p(s)$ $s$ un entero negativo no, que yo sepa, nos dicen nada acerca de sus valores en números enteros positivos.

Answer 1

Aquí un buen artículo expositivo por Colmez en Perrin-Riou del conjeturas:

http://people.math.jussieu.fr/~colmez/851bourbaki.pdf

Answer 2

Me gustaría escribir una mejor respuesta, pero debo ser breve.

Por ahora, permítanme ofrecer algunos de los lugares para leer. Larga historia corta, se prevé que exista una relación entre los valores de $p$-ádico $L$-funciones y syntomic reguladores (que son el análogo de Beilinson los reguladores en el $p$-ádico mundo).

1. El hermoso papel de Manfred Kolster y Tanga Nguyen Quong Hacer es, creo, una muy legible de los recursos.

2. Los mejores resultados yo sé que en esta dirección se Besser los papeles aquí y aquí, que el uso rígido syntomic cohomology.

3. Besser introducción del discurso en la conferencia de Loen (notas disponible aquí) fue una verdadera alegría.

Answer 3

Otros han insinuado, pero permítanme enfatizar el punto. Al menos, si usted está dispuesto a asumir todas las conjeturas (y tal vez que su motivo tiene buena reducción en $p$), la hipótesis de paisaje para $p$-ádico $L$-funciones es tan completo como el que de costumbre, $L$- funciones. A saber: hay una conjetural descripción de el valor de la cyclotomic $p$-ádico $L$-función en cualquier entero (de hecho, cualquier carácter $\eta\chi_{cyc}^{s}$ $\eta$ finito).

Esto puede ser realizado en B. Perrin-Riou estilo, ver Fonctions $L$ $p$-adiques des représentations $p$-adiques, o en K. Kato estilo, en cuyo caso se sigue de las conjeturas en especial los valores de $L$-funciones teniendo en cuenta la acción de un grupo de álgebra (el llamado equivariant conjeturas). De hecho, yo exagerar ligeramente aquí: en algunos valores especiales, podría ser una excepcional cero, en cuyo caso el líder plazo debe incorporar un $\mathcal{L}$-invariante, y no creo que este ha sido (conjecturally) se define en todos los casos.

También, como Rob H. escribió, $p$-ádico $L$-función son, de hecho, espera que satisfacen una ecuación funcional. Esto puede ser visto ya sea de Perrin-Riou es conjetural de la construcción de motivic elementos, en cuyo caso la ecuación funcional de la siguiente manera a partir de lo explícito de la ley de reciprocidad de Perrin-Riou (y Colmez en el de Rham caso) o a través de Iwasawa principales conjeturas, en cuyo caso se sigue de la dualidad resultados para cohomology complejos.

Así que todo lo que podría desear, se conjetura. No mucho, por supuesto, es realmente conocido.

Answer 4

En realidad, p-ádico L-funciones que se espera satisfacer las ecuaciones funcionales compatibles con los clásicos. Para M ordinaria motivo, Coates y Perrin-Riou conjeturó la interpolación de la propiedad en los números enteros y la espera funcional de la ecuación en algunos papeles en la década de los noventa (ver por ejemplo este). En particular, el Kubota-Leopoldt p-ádico L-funciones de interpolar todos los valores críticos de los clásico de Dirichlet L-funciones (hasta un período y un múltiple). Para las formas modulares, Mazur-Tate-Teitelbaum, en sus 1986 papel) demostrar un p-ádico funcional de la ecuación en la sección 17. De hecho, las dos variables p-ádico L-función de una familia común y corriente de las formas modulares satisface una de dos variable funcional de la ecuación de interpolación de una variable funcional de la ecuación de cada peso (véase, por ejemplo, Greenberg-Stevens' inventiones de papel) (me gustaría publicar más mathscinet enlaces, pero parece ser...).

Como para los valores de la p-ádico L-función de la no-crítica de los números enteros, que es mucho más misterioso. Rubin tiene un cálculo fuera de los puntos críticos para un CM de curva elíptica en la sección 3.3 de su papel en el "p-ádico monodromy y BSD" procedimientos. Creo que he visto a otros casos, pero en general se necesita mucho esfuerzo, creo.

(También, con respecto a la teoría de Iwasawa la preocupación con los valores de L-funciones, es cierto que el Principal Conjetura es sólo una igualdad de los ideales de algunos de potencia de la serie ring, pero aún se puede esperar para la construcción de p-ádico L-funciones en la analítica de lado que hacer un buen trabajo en la interpolación, dicen que hasta un p-ádico de la unidad.)