De cuántas maneras puede 4 hombres y 4 mujeres en una línea para que los hombres están juntos y las mujeres están juntos

Question

Pregunta: ¿de cuántas maneras distintas puede $\mathbf{4}$ hombres y $\mathbf{4}$ línea de las mujeres de todas las mujeres y todos los hombres juntos?

Mis pensamientos: empiezo mi solución al problema mediante la adición de la cantidad total de hombres y mujeres juntos: $\mathbf{8}$. Con eso en mente, puedo encontrar la cantidad de maneras en que los hombres pueden estar alineados. Los hombres pueden ser alineados en $\mathbf{4!}$ formas, del mismo modo que las mujeres pueden ser alineados en $\mathbf{4!}$ maneras. Por lo tanto, el producto de estos dos grupos, el forro es $\mathbf{576}$.

Aquí es donde realmente no puedo entender cómo la solución de $\mathbf{1152}$ se cumple. Multiplicando $\mathbf{576}$ $\cdot$ $\mathbf{2}$ me da este valor, pero no entiendo por qué. ¿Cuáles son tus pensamientos?

Answer 1

Los hombres pueden ir primeros, o las mujeres pueden ir primeras. Dos opciones significa multiplicar por dos.

Para otro ejemplo, ¿qué pasa si hay un hombre y una mujer? ¿De cuántas maneras puede alinean? Así $1!\times 1!\times 2!$

Answer 2

Hay dos grupos. Los grupos se pueden organizar en $2!$ maneras y hay 4 personas en cada grupo para que cada grupo se puede organizar en $4! \times 4!$ maneras. El número total de arreglos es $1152 = 4! \times 4! \times 2!$

Answer 3

La primera persona puede ser elegida en $8$ maneras. El próximo tres de las personas que pueden ser elegidas en $3$, $2$ y $1$ maneras, respectivamente (tienen que ser del mismo sexo como la primera persona). A continuación, para una quinta persona hay $4$ nuevo en opciones y, a continuación,$3$, $2$ y $1$ posibilidades para el resto de las $3$ de las personas. Por lo tanto, el número total de maneras en que se $$ 8 \times 3 \times 2 \1 \4 veces \times 3 \times 2 \times 1 = 1152. \quad (=2 \4 veces! \4 veces!) $$ La expresión $2 \times 4! \times 4!$ puede explicarse por el hecho de que no se $2$ formas para decidir el género de la primera persona y que no se $4!$ maneras de ordenar los hombres y $4!$ maneras de ordenar a las mujeres.

Answer 4

El grupo de hombres puede ser en el frente o en la parte posteriora: $2$ posibilidades

En el grupo de hombres, hay $4\times3\times2$posibles posiciones $= 24$

En el grupo de mujeres, el mismo número: $24$

Entonces la respuesta es $2 x 24 x 24 = 1152$