¿Cuál es el 1000º decimal de la raíz cuadrada de 1998 unos?

Question

Soy nuevo en esto, perdona mi formato.

La tarea

Encuentre el $1000$ decimal de $\sqrt{11...11}$ donde hay $1998$ $1$ s.

Prueba

Probé una cantidad menor de $1$ s:
$\sqrt{11} = 3.3166247903... =: \sqrt{a_1}$
$\sqrt{1111} = 33.3316666249... =: \sqrt{a_2}$
$\sqrt{111111} = 333.3331666666... =: \sqrt{a_3}$
Hay un patrón, para una cantidad uniforme de $1$ s.
Para $n$ $1$ s, habrá $\frac{n}{2} 3$ s antes del punto decimal y $\frac{n}{2} 3$ s después de ella. Por lo tanto, cuando hay $1998$ $1$ s, lo habrá:
$999$ $3$ s . $999$ $3$ s $1$ .
En otras palabras: $33...33.33....331$ Donde el $1$ es el $1000$ decimal.

[ EDITAR ] Olvidé mencionar que $i = \frac{n}{2}$ . Así que obtendremos $1998$ $ 1$ s si $i=999$ .

Mirando los números que vienen después de la cadena de $3$ s . Me gustaría probar que siempre será uno.
$a_i = \sum_{k=0}^{2i-1} 10^k$ donde $i\in\Bbb{N^+}$

$\sqrt{a_1}-3.3=0.0166247903...$
$\sqrt{a_2}-33.33=0.0016666249...$
$\sqrt{a_3}-333.333=0.0001666666...$
Para formular esto
$\sqrt{a_i} - \frac{3a_i}{10^i}$
Obtener el primer número a la izquierda del punto decimal, multiplicándolo por $10$ s.
$\biggl(\sqrt{a_i} - \frac{3a_i}{10^i}\biggl)10^{i+1}=: b_i$
$b_1=1.66247903..., b_2=1.6666249..., b_3=1.666666...,$ etc.
Para demostrar que $1<b_i<2$ En otras palabras, demuestre que la serie $b_i$ no está disminuyendo.
Para $<2:$
$\lim_{i\to \infty}b_i=\lim_{i\to \infty}\biggl(\sqrt{a_i} - \frac{3a_i}{10^i}\biggl)10^{i+1}=\frac{5}{3}=1.6666666666666666666666....$
El límite fue calculado por Maple 2015.
El límite es $1.66666...$ significa que $b_i$ se acercará a ese valor.
Esto demuestra la $<2$ parte.

Falta

Lo que creo que me falta es probar que $b_i$ no está disminuyendo.
Sólo porque $b_1$ comienza en $1.6624...$ y eventualmente $b_i$ terminará cerca de $1.666666666666...$ no significa que no haya disminuido en algún momento.
Intenté mostrar que $b_i<b_{i+1}$ pero se quedó atascado en:

$\sqrt{a_i}<10\sqrt{a_{i+1}} -3 \cdot 10^i \cdot 11$
Maple me está dando un FAIL en el verificar y evalb funciones, lo que significa que no sé cómo utilizar Maple correctamente.
Tal vez el hecho de que $a_i$ ¿se está levantando puede ayudar de alguna manera?

[ EDITAR ]
Puede que haya encontrado una manera, no es agradable.

Sabemos que los primeros valores de $b_i$ son crecientes, por lo que traté de demostrar que $b_i$ no es creciente encontrando la derivada de la función $b_i$ (gracias Arce).

Entonces al ser la derivada igual a cero, no se da ese caso, por lo tanto no hay puntos críticos, por lo que la secuencia no cambia entre creciente o decreciente, y como los primeros valores de $b_i$ fueran crecientes, toda la secuencia no puede ser decreciente, lo que la hace no decreciente.

¿Es esta prueba sólida como una roca en general, o hay todavía algunas lagunas que mejorar?

Answer 1

Su número es

$$\sqrt{\frac{10^{1998}-1}9}=\frac{10^{999}}3\sqrt{1-10^{-1998}}.$$

Por la expansión de Taylor (o el teorema del binomio generalizado), esto se evalúa como

$$\frac{10^{999}}3\left(1-\frac1210^{-1998}-\frac1810^{-3996}+\cdots\right)=\frac{10^{999}}3-\frac1610^{-999}-\frac1{24}10^{-2997}+\cdots$$

El $1000^{th}$ decimal es el dígito más a la derecha de la parte entera de (multiplicando por $10^{1000}$ )

$$\frac{10^{1999}}3-\frac{10}6-\frac1{24}10^{-1997}+\cdots$$

que es $\lfloor\cdots333.333\cdots-1.666\cdots-\epsilon\rfloor=\cdots333\color{green}1$ .