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Question

Puedo calcular el $\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}\binom{m}{k-i}$ $(1+x)^{n+m} = (1+x)^n(1+x)^m$ de uso.

Me gustaría calcular el % de dos sumas $\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}^2$y $\sum_{k=0}^n k \binom{n}{k}^2$ con el mismo método.

No veo qué polinomio hay que tener en cuenta.

Para el primero de ellos, si considero que $(1-x)^n(1+x)^n=\sum_{k=0}^n \sum_{i=0}^{k}(-1)^i \binom{n}{i} \binom{n}{k-i} x^k$ y la suma que desea no aparece.

EDIT: de hecho, sólo hay que ver el coeficiente de $x^n$, $\binom{n}{i}\binom{n}{n-i} = \binom{n}{i}^2$.

Answer 1

Usando el Lema de esta respuesta, obtenemos $$ \begin{align} \sum_{k=0}^nk\binom{n}{k}^2 &=\sum_{k=0}^n\binom{k}{1}\binom{n}{k}^2\\ &=\binom{n}{1}\binom{2n-1}{n}\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C00000]{n\binom{2n-1}{n}}\\ &\text{or}\\ &=\binom{2n-1}{1}\binom{2n-2}{n-1}\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C00000]{(2n-1)\binom{2n-2}{n-1}}\tag{1} \end{align} $$

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Para obtener la alternancia suma, considerar que el producto $$ \begin{align} (1+x)^n(1-x)^n &=\left(\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}x^i\right)\left(\sum_{j=0}^n\binom{n}{j}(-1)^jx^j\right)\\ &=\sum_{k=0}^{2n}\sum_{j=0}^k(-1)^jx^k\binom{n}{j}\binom{n}{k-j}\tag{2} \end{align} $$ Tenga en cuenta que el coeficiente de $x^n$ $(2)$ es $$ \sum_{j=0}^n(-1)^j\binom{n}{j}\binom{n}{n-j}=\sum_{j=0}^n(-1)^j\binom{n}{j}^2\etiqueta{3} $$ Otra forma de escribir el lado izquierdo de $(2)$$(1-x^2)^n$. Si $n$ es impar, no es $x^n$ plazo en $(1-x^2)^n$ ya que es una función par. Si $n$ es aún, el coeficiente de $x^n$$(-1)^{n/2}\binom{n}{n/2}$. Por lo tanto, $$ \bbox[5px,border:2px solid #C00000]{ \sum_{j=0}^n(-1)^j\binom{n}{j}^2=\left\{\begin{array}{} \displaystyle0&\text{if %#%#% is odd}\\ \displaystyle(-1)^{n/2}\binom{n}{n/2}&\text{if %#%#% is even} \end{array}\right.}\la etiqueta{4} $$

Answer 2

Sugerencia 1: Para calcular el $\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}^2$, mediante el uso de la identidad de $(1-x^2)^n=(1-x)^n(1+x)^n$, muestran que para cada entero no negativo,$m\le n$, $$\sum_{k=0}^{2m} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{n}{2m-k}=(-1)^m \binom{n}{m},$$ y $$\sum_{k=0}^{2m+1} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{n}{2m+1-k}=0.$$ A continuación, considere los dos casos diferentes al $n$ es aún y cuando se $n$ es impar.

Sugerencia 2: Para calcular el $\sum_{k=0}^n k \binom{n}{k}^2$, considere una clase de $n$ niños y $n$ de las niñas, a continuación, pruebe a seleccionar $n$ chicos con un chico como su líder.

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Otra forma de calcular estas sumatorias es el uso de las funciones de generación.

$A(z)=(1+z)^n$ es la generación de la función de $a_m=\binom{n}{m}$, e $B(z)=zA'(z)=nz(1+z)^{n-1}$ es la generación de la función de $b_m=ma_m=m\binom{n}{m}$. Por lo tanto, $C(z)=B(z)A(z)=nz(1+z)^{2n-1}$ es la generación de la función de la convolución $c_m=\sum_{k=0}^m{b_k a_{m-k}}=\sum_{k=0}^m{k\binom{n}{k}\binom{n}{m-k}}$, pero $$\begin{align} C(z) & = nz(1+z)^{2n-1} \\ & = nz\sum_{m=0}^{2n-1}{\binom{2n-1}{m} z^m} \\ & = \sum_{m=1}^{2n}{n\binom{2n-1}{m-1} z^m}. \\ \end{align}$$ Así $$\sum_{k=0}^m{k\binom{n}{k}\binom{n}{m-k}}=c_m=n\binom{2n-1}{m-1},$$ ahora si m=n, entonces $$n\binom{2n-1}{n-1}=\sum_{k=0}^n{k\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}}=\sum_{k=0}^n{k\binom{n}{k}^2}.$$

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También si se puede calcular $\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}\binom{m}{k-i}$, entonces usted sabe que $$\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}\binom{m}{k-i}=\binom{n+m}{k}.$$ Ahora bien, si usamos la identidad de $k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$, luego tenemos $$\begin{align} \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k}^2 & =\sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} \binom{n}{k} \\ & = n \sum_{k=0}^n \binom{n-1}{k-1} \binom{n}{k} \\ & = n \sum_{k=0}^n \binom{n-1}{n-k} \binom{n}{k} \\ & = n \binom{(n-1)+n}{n} \\ & = n \binom{2n-1}{n-1}. \end{align}$$

Answer 3

Un enfoque alternativo para lo que solía ser su primera identidad $\sum\limits_{i=0}^k \binom{i}{n}\binom{k-i}{m}$ es de la siguiente manera:

Para cada valor de $i$ desea contar los subconjuntos de a $1,2,\dots n+1$ que contiene exactamente $n$ elementos en $\{1,2,3\dots i\}$ y exactamente $m$ elementos en $\{i+2,i+3\dots k+1\}$ . Por lo $i+1$ es como una barrera. Dado un subconjunto de tamaño $n+m+1$ usted puede encontrar que es la barrera y usted tiene uno de la configuración deseada. A continuación, $\sum\limits_{i=0}^k \binom{i}{n}\binom{k-i}{m}$ $\binom{k+1}{n+m+1}$

¿Cuál es su identidad de la primera a la derecha ahora se llama vandermonde de la identidad.Otra forma de ver que es lo que quiere el subconjuntos de a $k$ elementos de distintos conjuntos de $A$ $B$ cuando la cantidad de elementos en $A$$0$$k$. Por lo tanto, usted desea que todas las $k$-subconjuntos de a $A\cup B$

Para el cálculo de la $\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}^2 (-1)^i$ Alex R comentario es bueno. Aunque sólo funciona para los impares $n$.

El punto es que $\binom{n}{i}=\binom{n}{n-i}$ $i$ $n-i$ tienen distinta paridad al $n$ es impar. Así que cancelar. así que si $n=2k$ obtener $\sum_{i=0}^{2k+1}\binom{2k+1}{i}^2(-1)^i=0$

Answer 4

para la primera suma tenemos $$ \sum_ {k = 0} ^ {}(-1) n ^ k\binom {n} {k} ^ 2 = {\frac {\sqrt {\pi} {2} ^ {n}} {\Gamma \left (1 + n/2 \right) \Gamma \left (1/2-n/2 \right)}} $$ y el segundo un $$ \sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}^2=1/2\ , {\frac {{4} ^ {n} \Gamma \left (n +1/2 \right)} {\sqrt {\pi} \Gamma \left (n \right)}} $$