¿Cómo decidir si uno puede utilizar teoría de perturbaciones en QM?

Question

En QM, se dice que la teoría de la perturbación puede ser utilizado en el caso en que el Hamiltoniano total es la suma de dos partes, una cuya solución exacta es conocida y un plazo adicional que contiene un pequeño parámetro, $\lambda$ decir. Podemos obtener la solución completa de la Hamiltoniana como una expansión sistemática, en términos de que los pequeños parámetro. Ahora tome como un ejemplo específico

$$ H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}kx^2+\lambda x^3\equiv H^0+\lambda x^3$$

Es allí una manera intuitiva de ver en qué sentido el $\lambda$ plazo puede ser más pequeño o más grande que el Hamiltoniano perturbado?

O hay alguna manera de calcular el tamaño de cada término en el Hamiltoniano, basado en la cual se puede decidir el espacio de parámetros para $\lambda$ (lo que, en consecuencia, de hacer de nuestra perturbación método válido)? cómo se puede estimar el tamaño de un derivado!?

Answer 1

En general, usted no puede decidir si la teoría de la perturbación da una buena aproximación (digamos a los niveles de energía) con sólo mirar el Hamiltoniano; esto también puede depender del estado cuya energía se desea calcular. Tomemos, por ejemplo, la anarmónicos oscilador, $$ H=-\frac{\manejadores^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac12m\omega^2x^2+\lambda x^4. $$ (Yo no uso el ejemplo y con una cúbicos plazo ya que tales Hamilton no está delimitado desde abajo y no han obligado a los estados. Aquí, la teoría de la perturbación le da estados metaestables con una larga vida útil: las partículas en tal estado se localiza en el potencial de bien por mucho tiempo, pero finalmente se túnel a través de la barrera de potencial y de escape.) El más alto estado de excitación que se mire, el más grande de los valores de $x$ puede que la partícula alcance, y por lo tanto el peor de los perturbativa de aproximación a los niveles de energía. De hecho, para la gran excitación de los estados, el término proporcional a $x^2$ puede ser descuidado y entonces se puede demostrar que la energía de la $n$-ésimo estado excitado escalas asintóticamente como $\lambda^{1/3}n^{4/3}$. Tal dependencia de la $\lambda$ obviamente no puede ser obtenida en cualquier finito orden de teoría de perturbaciones.

Este ejemplo de la anarmónicos oscilador se ha estudiado mucho en la literatura. (Entre otros, el perturbativa de correcciones a los niveles de energía se han calculado para todos los pedidos en la teoría de la perturbación.) Es bien sabido que la perturbación de la serie no converge, no importa cuán pequeño $\lambda$ es. Esto es fácil de entender intuitivamente. Un de potencia de la serie siempre converge en un círculo en el plano complejo, en particular si converge para algunos $\lambda$, se deben converger para$-\lambda$. Sin embargo, para el negativo $\lambda$ este Hamiltoniano no tiene aún un terreno del estado. Por lo tanto, la perturbación de la serie tiene un cero radio de convergencia.

Afortunadamente, no todo está perdido. La serie de perturbaciones en este ejemplo (y muchos otros, especialmente en la teoría cuántica de campos) es asintótica. Esto a grandes rasgos significa que si usted comienza a calcular perturbativa de correcciones a los niveles de energía, los sucesivos términos inicialmente parecen converger y añadir más términos tiene sentido. Sin embargo, a partir de cierto orden en las correcciones de empezar a crecer. ¿Cuál es el valor de la "crítica" para luego depende del tamaño del acoplamiento $\lambda$.

Answer 2

Puede ser interesante tener en cuenta que la separación no es único. De hecho, dada la cuártica oscilador, es bien sabido que la división en el cuadrática parte además de la cuártica parte no es la mejor manera de dividir. Mucho mejores resultados se obtienen al variacional teoría de la perturbación, la cual se escoge la interacción de manera tal de minimizar la sensibilidad de los resultados. Esto le da una división distintas (e incluso se divide dependiendo de qué es exactamente lo que usted desea determinar).

Stevenson, P. M., Optimizado teoría de la perturbación, Physical Review D 23 (1981), 2916.

Con variacional teoría de la perturbación, se puede obtener convergente expansiones para el cuarto grado oscilador en lugar de asintótico de las expansiones solo. Ver, por ejemplo, Phys. Lett. Un 173, 332 (1993); Physical Review 59 (1999), 102.

Su problema, el cúbicos oscilador, es tratada con variacional teoría de la perturbación en quant-ph/9502027.

Ver también http://www.mat.univie.ac.at/~neum/ms/as.pdf

Answer 3

Estrictamente hablando, no es una forma intuitiva de ver en qué sentido el λ término es siempre más grande que el Hamiltoniano perturbado :-) El espectro del Hamiltoniano con el λ plazo ($H_\lambda$) no está obligada desde abajo (puede dibujar el potencial relevante para entender eso), así que no tiene ningún espectro discreto, a diferencia de la de Hamilton sin la λ plazo ($H_0$), sólo el espectro continuo. Si el estado inicial es similar a la del estado fundamental de $H_0$, finalmente el túnel en dirección a $x\rightarrow -\infty$ (asumiendo $\lambda>0$). Así que, en cierto sentido, la teoría de la perturbación es siempre insatisfactorio, y la serie siempre diverge. Sin embargo, si $\lambda$ es lo suficientemente pequeño, el túnel de tiempo es muy grande, por lo que un truncado de forma asintótica de la serie de teoría de la perturbación da una muy buena aproximación. Así que me gustaría sugerir lo siguiente, arbitraria, criterium: si para un determinado $\lambda$ la segunda corrección de la teoría de la perturbación es mucho más pequeña que la primera corrección para el estado que usted está interesado, luego de la aplicación de la teoría de la perturbación está justificada.

Answer 4

Lo que generalmente se puede hacer es, primero hacer algunas sustituciones de variables de forma que todos sus constantes adimensionales.

Porque, por el momento, tendrías $\lambda$ con unidades de Energía por Longitud cortada en cubos, sino $k$ tiene unidades de Energía por Longitud al cuadrado y que hace difícil comparar.

Exactamente cómo hacer eso realmente no importa, entonces, una manera sería introducir una variable $\xi = x / \sqrt{k}$. Entonces usted tiene

$$H = -\frac{\hbar^2}{2mk} \frac{d^2}{d\xi^2} + \frac{1}{2} \xi^2 + \frac{\lambda}{k^{2/3}} \xi^3$$

Ahora si $\lambda / k^{2/3} \ll 1/2$ usted saber que $\lambda$ es un pequeño parámetro y la teoría de la perturbación debe funcionar bien. Pero si $\lambda / k^{2/3} \sim 1/2$, sería de esperar teoría de la perturbación a fallar.