En $\sum_{k=1}^{\infty}k(p^{\frac{(k-1)k}{2}}-p^{\frac{(k+1)k}{2}})$ ¿converger?

Question

Hace la suma:

$$\sum_{k=1}^{\infty}k(p^{\frac{(k-1)k}{2}}-p^{\frac{(k+1)k}{2}})$$ $$ p\in\mathbb{R}|0{\leq}p<1$$ inversa, y si es así, ¿a qué función?

Answer 1

Simplifiquemos su expresión para obtener la expresión de Carl Najafi :

\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty}k\left(p^{\frac{(k-1)k}{2}}-p^{\frac{(k+1)k}{2}}\right)&=\sum_{k=1}^{\infty}k\;p^{\frac{(k-1/2)^2}2-\frac 18}-\sum_{k=1}^{\infty}k\;p^{\frac{(k+1/2)^2}2-\frac 18}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)\;p^{\frac{(k+1/2)^2}2-\frac 18}-\sum_{k=1}^{\infty}k\;p^{\frac{(k+1/2)^2}2-\frac 18}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\;p^{\frac{(k+1/2)^2}2-\frac 18}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\;p^{\frac{k(k+1)}2}\\ \end{align} Probando la afirmación de Carl.

Después de eso, simplemente tendrás que utilizar la definición del segunda función theta $$\theta_2(0,\sqrt{p})=2\sum_{k=0}^{\infty}\;\sqrt{p}^{(k+1/2)^2}$$ para obtener el Resultado alfa (ya que $\sqrt{p}^{1/4}=\sqrt[8]{p}$ ) : $$\frac {\theta_2(0,\sqrt{p})}{2\;\sqrt[8]{p}}\quad\text{for}\ 0<p<1$$