Puede no ser más ideales que los elementos de un anillo? Esto está relacionado con mi otra pregunta Tener elementos como Ideales . A primera vista, parece obvio que no iba a ser menos ideales de elementos de un anillo. Pero los ideales no son necesariamente mutuamente disjuntas, y forman un subconjunto de el juego de poder del anillo, que es estrictamente mayor que el anillo en sí. Sé campos sólo han trivial ideales, así que tal vez hay un "frente" de la estructura que tiene un consumo máximo de la proliferación de los ideales en relación a los elementos? Una (más débil) relacionados con la cuestión es si puede haber más subrings de que los elementos de un anillo.
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Jonik
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Para un finito ejemplo, considere el $\mathbb{Z}[x,y,z]/(2,xx,xy,xz,yy,yz,zz)$ con 16 elementos y 17 ideales.
Los elementos son los $a+bx+cy+dz$$a,b,c,d\in \{0,1\}$. Los ideales son el conjunto de anillo y el 16 de subespacios de $(x,y,z)$.
De manera más general, tome $R_n = \mathbb{Z}[x_1,\ldots,x_n]/( (2) + (x_1,\ldots,x_n)^2 )$ $2^{n+1}$ elementos y $\displaystyle 1+\sum_{k=0}^n \prod_{i=1}^{n-k} \frac{2^{i+k} - 1}{2^{i\phantom{{}+k}} - 1} \approx 7.3 \cdot 2^{n^2/4}$ ideales. Por ejemplo, $R_4$ tiene 32 elementos y 67 ideales, $R_5$ 64 elementos y 375 ideales, $R_6$ tiene 128 elementos y 2826 ideales, y $R_7$ tiene 256 elementos y 29213 ideales.
La motivación o de la intuición es que un espacio vectorial contienen muchas más subespacios de elementos, como conjuntos tienen muchos más subconjuntos de elementos. Un "cero ring es un anillo en el que todas las multiplicaciones son 0, y así todos los subgrupos son ideales. Sin embargo, muchas personas se confunden por cero anillos, por lo que tienden a acostarse uno antes de mencionar. $(x_1,\cdots,x_n)/(x_1,\cdots,x_n)^2$ es un cero del anillo con $2^n$ elementos y sobre $2^{n^2/4}$ ideales, y contigua 1 ( $R_n$ ) sólo se duplica el número de elementos (y le da un extra ideal).
Comience con el polinomio de anillo, sobre su favorita contables campo $K$, generado por countably muchos indeterminates $X_q$ indexados por los números racionales $q$. Deje $R$ ser el cociente de este anillo se obtiene mediante la imposición de las ecuaciones $X_qX_r=X_q$ todos los $q<r$. (En lenguaje más elaborado, esta es la semigroup álgebra $K$ de la semigroup que consta de los números racionales con la operación $\min$.) A continuación, $R$ es countably infinito, pero cada número real $\alpha$ da lugar a un ideal $I_\alpha$ generado por todas las $X_q$$q<\alpha$. Así que este contables anillo continuo de muchos ideales.
En realidad, no era necesario pasar de la polinomio anillo de $K[X_q:q\in\mathbb Q]$ para el cociente del anillo $R$. $K[X_q:q\in\mathbb Q]$ sí tiene continuum muchos ideales, es decir, la pre-imágenes de la $I_\alpha$'s (y mucho más).
