Teorema de Cauchy: ¿qué ocurre con las homotopías no lisas?

Question

Esta mañana me he dado cuenta de que nunca he entendido una cuestión técnica sobre el teorema de Cauchy (forma homotópica) del análisis complejo. Para ilustrarlo, permítanme primero dar una definición.

(En lo que sigue $\Omega$ denotará siempre un subconjunto abierto del plano complejo).

Definición Sea $\gamma, \eta\colon [0, 1]_t \to \Omega$ sean dos curvas cerradas suaves a trozos (o circuitos ). Decimos que $\gamma, \eta$ son $\Omega$ - homotópico si existe una correspondencia continua $H \colon [0, 1]_\lambda \times [0, 1]_t \to \Omega$ s.t.

1. $H(0, t)=\gamma(t)$ y $H(1, t)=\eta(t), \quad \forall t \in [0, 1]$ ;
2. $H(\lambda, 0)=H(\lambda, 1), \quad \forall \lambda \in [0, 1]$ .

Teorema (Cauchy) Sea $f\colon \Omega \to \mathbb{C}$ sea holomorfa. Si $\gamma, \eta$ son $\Omega$ -homotópicos, entonces

$$\int_{\gamma} f(z)\, dz= \int_{\eta}f(z)\, dz.$$

Problema La función $H$ anterior es sólo continua y no tiene por qué ser suave. Así, para $0< \lambda < 1$ la curva cerrada $H(\lambda, \cdot)$ puede ser prácticamente todo (una curva de Peano, por ejemplo). ¿Anula esto la validez del teorema tal y como se enuncia más arriba? ¿Cómo puede definirse la integración sobre un objeto tan patológico?

La demostración del teorema de Cauchy que tengo en mente es la siguiente. Para empezar, se observa que para un valor suficientemente pequeño de $\lambda_1$ los circuitos $\gamma=H(0, \cdot)$ y $H(\lambda_1, \cdot)$ son juntos es decir, que pueden ser cubiertos por una secuencia finita de discos que no salgan de $\Omega$ como en la figura siguiente:

Desde $f$ es localmente exacta, sus integrales sobre cada disco dependen sólo de la primitiva local. Jugando un poco con esto, se llega a

$$\int_\gamma f(z)\, dz= \int_{H(\lambda_1, \cdot)} f(z)\, dz.$$

A continuación, se repite este proceso y se obtiene un $\lambda_2$ superior a $\lambda_1$ y tal que

$$\int_{H(\lambda_1,\cdot)} f(z)\, dz= \int_{H(\lambda_2, \cdot)} f(z)\, dz.$$

Y así sucesivamente. Un argumento de compacidad muestra finalmente que este algoritmo termina en un número finito de pasos.

El problema es Esta prueba supone implícitamente que $H(\lambda_1, \cdot), H(\lambda_2, \cdot) \ldots$ son suaves a trozos, para dar sentido a las integrales $$\int_{H(\lambda_j, \cdot)}f(z)\, dz.$$ Sin embargo no se deduce de la definición si $H$ sólo se supone que es continua. Por lo tanto, esta demostración sólo funciona para $H$ .

¿Es necesaria esta condición de regularidad?

Answer 1

Como ya ha señalado Akhil en los comentarios, dos curvas suaves cualesquiera $\gamma_0, \; \gamma_1$ que son continuamente homotópicas son también suavemente homotópicas. El punto aquí es aproximar una homotopía continua, más que las curvas en sí mismas.

Más concretamente, dadas curvas suaves homotópicas $\gamma_0, \gamma_1: I \to \Omega$ , dejemos que $H(s,t): I\times [0,1] \to \Omega$ sea una homotopía continua entre $\gamma_0$ y $\gamma_1$ .

Por el teorema de aproximación de tu elección (el mío se debe a Whitney), podemos encontrar un mapa suave $G: I\times[0,1] \to \Omega$ que coincide con $H$ en $I \times \{0\} \cup I \times \{1\}$ (ya que $H$ es suave allí). Esto significa que encontramos un suave homotopía $G$ entre $\gamma_0$ y $\gamma_1$ por lo que hemos terminado en este caso especial.

Ahora bien, si partimos de curvas rectificables en lugar de suaves, podemos encontrar dos curvas suaves $\tilde \gamma_0$ y $\tilde \gamma_1$ que se aproximan a nuestro $\gamma_0$ y $\gamma_1$ respectivamente, y tal que la homotopía lineal

$$H_\lambda(s,t) := t\gamma_\lambda(s) + (1-t)\tilde \gamma_\lambda(s) \qquad \lambda = 0, 1$$

mapea en $\Omega$ (elija una $\epsilon$ -vecindad de la imagen $\gamma_\lambda(I)$ de $I$ que figura en $\Omega$ y tomar $\tilde \gamma_\lambda$ estar contenida dentro de este barrio).

No es difícil ver que $H_\lambda$ será entonces una homotopía "rectificable".

Pero con $\tilde \gamma_0$ , $\tilde \gamma_1$ nos encontramos de nuevo en la primera situación, por lo que existe una homotopía suave entre ellas. Ahora podemos construir una homotopía rectificable entre $\gamma_0$ y $\gamma_1$ en tres pasos

1. Homotop $\gamma_0$ a $\tilde \gamma_0$ por la homotopía lineal.
2. Utilizar una homotopía suave entre $\tilde \gamma_0$ y $\tilde \gamma_1$
3. Ir de $\tilde \gamma_1$ a $\gamma_1$ por la homotopía de la línea recta.

Demostrando así que todas las nociones de "homotópico" coinciden.

Answer 2

Si he entendido bien su pregunta, el problema que $H$ puede ser no lisa puede resolverse mediante la aproximación con trayectorias poligonales lisas, véase por ejemplo Rudin's real and complex analysis (3ª edición), thm 10.40 y el comentario después de él.

Como nota interesante, Rudin añade que otra forma de sortear esta dificultad es extender la definición de índice a curvas cerradas, lo que se esboza en uno de los ejercicios del libro.