raíces de las ecuaciones polinómicas y relación entre los coeficientes de

Question

Si la ecuación $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1 = 0$ ($a,b,c$ son números verdaderos) no tiene no tiene ninguna raíz real y si es de por lo menos una raíz de módulo uno, entonces ¿cuál es la relación entre $a,b$y $c$?

Answer 1

Sugerencia: probar, primero, que todas las raíces tienen el módulo de $1$. A continuación, considere el polinomio recíproco.

Answer 2

Como las raíces vienen en pares de complejos conjugados y la parte constante es su producto, vemos que todas las raíces tienen el módulo de $1$.

Como consecuencia, algunos más las estimaciones pueden ser encontrados como $-2<a<2$.

Answer 3

Factoring $x^4+ax^3+bx^2+cx+1=(x^2+dx+1)(x^2+ex+1)$ muestra que $a=c=d+e$$b=2+de$. Para no requieren de raíces reales tenemos las desigualdades $-2<d,e<2$. Por lo tanto, todos los posibles tripletes $(a,b,c)$ tienen la forma:

$$(a,b,c)=(d+e,2+de,d+e)$$

para algunos $(d,e)\in(-2,2)\times (-2,2)$.

Intuitivamente, $d$ es el doble de la parte real de un par de raíces complejas, $z,\bar{z}$. Desde $|z|=1$, e $z\ne\bar{z}$, se deduce que el $-1<\operatorname{Re}z<1$, lo que nos da nuestra desigualdades por $d$. Asimismo, para $e$.