Encontrar un punto en un segmento de línea, situado a una distancia de $d$ de un extremo

Question

Dado puntos $A$ $C$ en el plano, ¿cómo encuentro el punto $B$ en el segmento de línea entre $A$ y $C$ que se encuentra a una distancia de $d$ $A$?

Ejemplo: $$A = (0,3), \qquad C = (3,0), \qquad d=1$ $

Answer 1

Usted podría utilizar una parametrización:

Dado $A=(a_1, a_2)$$B=(b_1,b_2)$, la de una parametrización del segmento de la línea $AB$ de $A$ $B$es $$ \eqalign{ x(t) y= a_1 + (b_1-a_1)t\cr y(t) y= a_2 +(b_2-a_2)t }\ \ ;\ \ \ \ 0\le t\le1. $$

Con esta parametrización, $t_d\cdot100\%$ del segmento de línea que se trazó como $t$ aumenta de$t=0$$t=t_d$.

Así, si desea que las coordenadas del punto de $C$ sobre el segmento de línea, cuya distancia de la $A$$d$, en primer lugar, calcular la proporción de $d$ a la longitud de $AB$ y establecer esta igual a $t_d$: $$ t_d={d\\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2 }}. $$

Luego de evaluar las coordenadas de $C=(x_C,y_C)$$C=\bigl( x(t_d), y(t_d) \bigr)$.

Es decir, las coordenadas de $C$ $$ \eqalign { x_C&=a_1+{d(b_1-a_1)\\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2 }}\cr y_C&=a_2+{d(b_2-a_2)\\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2 }}.\cr } $$

Answer 2

La siguiente es una muy útiles hecho. Los puntos en el intervalo de $(a,b)$ $(c,d)$son precisamente los puntos de $(x,y)$ tal que $$x=(1-t)a+ tc,\qquad y=(1-t)b+td,\tag{$\ast$}$$ donde $t$ oscila en el intervalo de$0$$1$. Por otra parte, este punto de $(x,y)$ divide el intervalo de $(a,b)$ $(c,d)$en la proporción de $t:1-t$. Para decirlo de otra manera, la distancia de $(a,b)$ $(x,y)$ $t$veces la distancia de$(a,b)$$(c,d)$.

Utilizaremos $(\ast)$,$(a,b)=(0,3)$$(c,d)=(3,0)$. La distancia de $(0,3)$ $(3,0)$ $\sqrt{18}$o, más sencillamente $3\sqrt{2}$. Si $B$ a pie $d$$A$, queremos $t:1 =d:3\sqrt{2}$.

Por lo $t=\dfrac{d}{3\sqrt{2}}$. Por último, el uso de este valor de $t$ $(\ast)$ hallar las coordenadas $(x,y)$$B$.

Answer 3

La dirección de $\rm A$ $\rm C$ es paralela al desplazamiento $\rm \vec{w}=\overline{AC}$. Normalización (dividiendo por la magnitud del desplazamiento), la dirección (como un vector de la unidad) es exactamente $$\rm \vec{v} = \frac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|}.$ $

Ahora si es paralelo a $\rm \vec{u}=\overline{AB}$ $\rm \vec{v}$ y magnitud $\rm d$ y $\rm \vec{B}=\vec{A}+\vec{u}$, entonces...

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En tu ejemplo, el desplazamiento desde A hasta C es $\rm \vec{C}-\vec{A}=(3,-3)$. Normalización,

$$\rm \vec{v}=\frac{(3,-3)}{\sqrt{3^2+(-3)^2}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).$$

Multiplicando esto por d y viradas en A, tenemos

$$\rm \vec{C}=\vec{A}+1\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},3-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).$$