Mensurabilidad de Borel de un subconjunto de un espacio producto

Question

Que $X$ y $Y$ ser compacto espacios métricos y que $\mathcal B_X$ y $\mathcal B_Y$ ser sus respectivos Borel $\sigma$-álgebras.

Que $\mu$ ser un Borel de probabilidad medir en $X$ y que $\mathcal B^*_X$ $\mu$-realización de $\mathcal B_X$.

¿Si $E$ pertenece al producto $\sigma$-álgebra $\mathcal B^*_X\otimes\mathcal B_Y$, existe un $\mu$-null set $A$ $\mathcal B_X$ tal que $E\cup(A\times Y)\in\mathcal B_X\otimes\mathcal B_Y$?

Answer 1

Deje $\mathscr{C}$ ser la colección de $E\in\mathcal{B}_X^*\otimes \mathcal{B}_Y$ para que:

1. Existe $A\subseteq X$ nulo $E\cup (A\times Y)\in\mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y$.
2. Existe $A\subseteq X$ nulo $E\setminus (A\times Y)\in\mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y$.

A continuación, basta para mostrar que $\mathscr{C}$ $\sigma$- álgebra que contiene los rectángulos $A\times B$, $A\in\mathcal{B}_X^*$, $B\in\mathcal{B}_Y$.

Para rectángulos, utilice el hecho de que podemos aproximar, tanto en el interior como en el exterior, elementos de $\mathcal{B}_X^*$ por elementos de $\mathcal{B}_X$.

Para los contables de los sindicatos, de la propiedad 1. es fácil de tratar. 2., supongamos $E_n\in\mathscr{C}$, y para cada una de las $n$ elija $A_n$ satisfacción $2$. A continuación, $\bigcup_m A_m$ es nulo en $\mathcal{B}_X$ y $$\bigg(\bigcup_n E_n\bigg)\setminus\bigg(\bigg(\bigcup_m A_m\bigg)\times Y\bigg)=\bigcup_n\bigg(E_n\setminus \bigg(\bigcup_m \big(A_m\times Y\big)\bigg)\bigg)$$

Para un determinado $n$, $E_n\setminus\big(\bigcup_m (A_m\times Y)\big)=\big(E_n\setminus(A_n\times Y)\big)\setminus\big(\bigcup_m(A_m\times Y)\big)$, que pertenece a $\mathcal{B}_X\otimes\mathcal{B}_Y$, por lo que su unión también pertenece a ella.

Para los complementos, dado $E\in\mathscr{C}$, el uso de la propiedad 1. para $E$ a obtener la propiedad 2. para $E^c$ y vice-versa, por lo $E^c\in\mathscr{C}$.