Mi texto dice $ \left\{\begin{pmatrix}a&a\\a&a\end{pmatrix}:a\ne0,a\in\mathbb R\right\}$ forma un grupo bajo multiplicación de la matriz.

Question

Mi texto dice %#% $ de #% forma un grupo bajo multiplicación de la matriz.

Pero puedo ver $$\left\{\begin{pmatrix}a&a\\a&a\end{pmatrix}:a\ne0,a\in\mathbb R\right\}$ el conjunto y por lo tanto no de un grupo.

¿Estoy correcto?

Answer 1

El elemento de identidad de este grupo es $\pmatrix{\tfrac12&\tfrac12\\ \tfrac12&\tfrac12}$, no $I_2$.

Answer 2

Llamar a esa matriz $(a)$ y consigue $(a)(b)=(2ab)$ por lo tanto es cerrado bajo la multiplicación y la $(1/2)$ es su unidad.

Answer 3

Si la estructura de un grupo por lo que tiene un elemento de identidad, lo que para cualquier matriz llamada $A$ tenemos: $$A:=\begin{pmatrix} a & a \\ a & a \\ \end{pmatrix}$$ for some $a\neq 1$ and if $$\text{id}_G=\begin{pmatrix} b & b \\ b & b \\ \end{pmatrix}, ~~b\neq 0$$ then $\times\text{id}_G=\text{id}_G\times a=a$. Now $$A\times\text{id}_G=\begin{pmatrix} 2ab & 2ab \\ 2ab & 2ab \\ \end{pmatrix}$$ which should be equal to $$ itself. So $a=2ab$ and since $a\neq 0$ so $b=0.5$.

Answer 4

Es importante tener en cuenta que este conjunto de matrices a formar un grupo, pero NO forman un subgrupo del grupo de matrices $GL_2(\mathbb{R})$ (el grupo que estamos más familiarizados como una matriz de grupo - el grupo de invertible $2\times 2$ matrices) como no hay elementos de este conjunto se han distinto de cero determinante. En particular, estamos buscando a un subconjunto de a $Mat(\mathbb{R},2)$ que es disjunta de a $GL_2(\mathbb{R})$.

La identidad del grupo será la matriz $\pmatrix{\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}}$ y el inverso del elemento $\pmatrix{a&a\\ a&a}$ $\dfrac{1}{4}\pmatrix{a^{-1}&a^{-1}\\ a^{-1}&a^{-1}}$ (usted debe comprobar esto).