Variedades diferenciables $\mathscr C^k$ vs. $\mathscr C^\infty$

Question

Me di cuenta de que existe una (en algún sentido) mejor definición de la tangente en el espacio a través del dual de un cierto coeficiente de álgebra que es más fácil trabajar con, en algunos casos. Sin embargo, esto sólo funciona para suavizar los colectores. Mi pregunta es, hay una sustancial pérdida de generalidad si asumo que el colector es suave en lugar de $\mathscr C^k$? Lo que realmente me pierde por hacer una assumtion? Me di cuenta de que la mayoría de los libros simplemente trabajar con suave colectores desde el inicio, apenas mencionar el (no tan bueno) $\mathscr C^k$ colectores.

Gracias

Answer 1

La principal ventaja de trabajar en una suave estructura es que el álgebra $ C^\infty (U) $ para un conjunto abierto $U$ en el colector es cerrado bajo la operación de diferenciación, mientras que el $ C^k(U) $ no es para $k <\infty $. Usted puede componer de dos vectores tangente en un suave estructura que permite definir campos vectoriales como $ [X,Y] $. Sin embargo, una incrustación teorema de Whitney dice que cualquier $ C^k $ colector puede ser incrustado en un espacio Euclidiano con la habitual suave de la estructura. Así que el grado de la diferenciabilidad no es un factor muy significativo.

Answer 2

Como otros ya han señalado, no hay ninguna pérdida sustancial. Cualquier # de $C^r$-variedad admite una única $C^s$-estructura (hasta $C^s$-diffeomorphism) $r \leq s \leq \infty$. Este resultado y la prueba pueden encontrarse por ejemplo en estas notas de la Conferencia: http://www.math.ist.utl.pt/~martinez/files/difftopDMT.pdf.