Estoy teniendo dificultades para evaluar integrales definidas de la forma $\int_0^\infty \frac{\mathrm{e}^x}{\left(\mathrm{e}^x-1\right)^2}\,x^n \,\mathrm{d}x$. Agradecería cualquier orientación que podrían ser ofrecidos. Soy consciente de que estos evalúan constante poderes de $\pi$, pero se encuentran con la integración de un reto. Gracias.
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$$ \int_0^\infty \frac{e^x}{(e^x-1)^2} x^n dx = \int_0^\infty \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x} )^2} x^n dx .$$
Para $|z|<1 $ tenemos $\displaystyle \frac{1}{1-z} =\sum_{k=0}^{\infty} z^k $, por lo que mediante la diferenciación llegamos $\displaystyle \frac{1}{(1-z)^2} = \sum_{k=1}^{\infty} k z^{k-1}. $, con Lo que para $x\in (0,\infty),$ $$ \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x} )^2} = \sum_{k=1}^{\infty} k e^{-kx}.$$ Hence, (after applying the monotone convergence theorem) the desired integral is equal to $$ \sum_{k=1}^{\infty} k \int^{\infty}_0 x^n e^{-kx} dx .$$
Si dejamos $u=kx $ nos encontramos con que $$ \int^{\infty}_0 x^n e^{-kx} dx = \int^{\infty}_0 \left( \frac{u}{k} \right)^n e^{-u} \cdot \frac{1}{k} du = \frac{1}{k^{n+1}} \Gamma(n+1) = \frac{n!}{k^{n+1}}.$$
Por lo tanto, $$\int^{\infty}_0 \frac{e^x}{(e^x-1)^2} x^n dx = n! \zeta(n) .$$
Su sospecha de que el valor de la integral es el producto de una constante por una potencia de $\pi$ es correcto para números enteros, como $$(2n)! \cdot \zeta(2n) = (2n)! \cdot (-1)^{n+1} \frac{B_{2n} (2\pi)^{2n} }{2 (2n)!} = (-1)^{n+1} \frac{B_{2n} (2\pi)^{2n} }{2} $$
pero por extraño n no forma más simple para $\zeta(n)$ es conocido (y probablemente no lo sea simple de los poderes de $\pi.$)
