Pasos para resolver este sistema de ecuaciones: $\sqrt{x}+y=7$, $\sqrt{y}+x=11$

Question

Quiero resolver este sistema de ecuaciones, he estado fuera de las Matemáticas para mucho!!

$$\sqrt{x}+y=7$$

$$\sqrt{y}+x=11$$

Sólo me preguntaba paso más fácil para encontrar los valores de $x$ $y$ a partir de las ecuaciones anteriores?

Answer 1

Primero reorganizar las ecuaciones como este: $$y-4=3-\sqrt{x} \\x-9=2-\sqrt{y}$$ a continuación, multiplicar los dos lados de estas ecuaciones para cada uno de los otros; $$(y-4)(x-9)=(3-\sqrt{x})(2-\sqrt{y})$$ Desde $x,y\ge 0$ podemos factor de LHS : $$(\sqrt{y}-2)(\sqrt{y}+2)(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)=(3-\sqrt{x})(2-\sqrt{y})$$ Implica que$$ (\sqrt{y}-2)(\sqrt{x}-3)((\sqrt{y}+2)(\sqrt{x}+3)-1)=0 $$ al menos uno de los factores debe ser cero.

1. $$(\sqrt{y}-2)=0 \Rightarrow y=4$$

por sustitución de $y=4$ en el primer eq. tenemos $x=9$.

y comprobando en el segundo eq. implica que $$x=9\qquad and \qquad y=4$$ es una solución.

o

2. $$(\sqrt{x}-3)=0 \Rightarrow x=9$$

por sustitución en el primer eq. tenemos $y=4$ y comprobando en el segundo eq. implica que esta no es una nueva solución.

o

3.$$(\sqrt{y}+2)(\sqrt{x}+3)-1=0 \Rightarrow (\sqrt{y}+2)(\sqrt{x}+3)=1$$ pero no tiene ninguna solución para $x$ $y$ porque $$ (\sqrt{y}+2)\ge 2 ; \quad (\sqrt{x}+3) \ge 3 \Rightarrow (\sqrt{y}+2)(\sqrt{x}+3)\ge 6 $$ como resultado $(\sqrt{y}+2)(\sqrt{x}+3)=1$ no tiene ninguna solución para $x$$y$.

Answer 2

No son fáciles pasos para resolver el sistema de dos ecuaciones $$ \begin{eqnarray} \sqrt{x}+y &=&7 \tag{1} \\ \sqrt{y}+x &=&11, \end{eqnarray}$$ que es equivalente a $$ \begin{eqnarray*} \sqrt{x} &=&7-y \\ \sqrt{y} &=&11-x. \end{eqnarray*}$$ Si la plaza de ambas ecuaciones se obtiene $$ \begin{eqnarray*} x &=&\left( 7-y\right) ^{2} \\ y &=&\left( 11-x\right) ^{2}, \end{eqnarray*}$$ cuyas soluciones son las soluciones del sistema dado. Ahora sustituye el segundo en la primera y viceversa $$ \begin{eqnarray*} x &=&\left( 7-\left( 11-x\right) ^{2}\right) ^{2}\Leftrightarrow \left( 7-\left( 11-x\right) ^{2}\right) ^{2}-x=0 \\ y &=&\left( 11-\left( 7-y\right) ^{2}\right) ^{2}\Leftrightarrow \left( 11-\left( 7-y\right) ^{2}\right) ^{2}-y=0 \end{eqnarray*}$$ y expandir la mano izquierda lados para obtener dos cuárticas $$ \begin{eqnarray} x^{4}-44x^{3}+712x^{2}-5017x+12\,996 &=&0 \tag{2} \\ y^{4}-28y^{3}+272y^{2}-1065y+1444 &=&0. \end{eqnarray} $$

En lugar de resolver estas dos ecuaciones por el método estándar, lo primero que se puede aplicar los racionales teorema de la raíz, de la que sabemos que los posibles entero raíces son de la forma $x=\pm p,y=\pm q$ donde $p$ y $q$ se entero de factores de los términos constantes, respectivamente, $ 12996=2^{2}3^{2}19^{2}$ and $1444=2^{2}19^{2}$. Por cálculo directo nos a la conclusión de que sólo $x=9$ $y=4$ se entero de soluciones $$ \begin{eqnarray*} \sqrt{9} &=&7-4 \\ \sqrt{4}+9 &=&11. \end{eqnarray*} $$ Desde $$\begin{eqnarray*}x^{4}-44x^{3}+712x^{2}-5017x+12996=\left( x-9\right) \left( x^{3}-35x^{2}+397x-1444\right) \end{eqnarray*} $$ y $$ \begin{eqnarray*}y^{4}-28y^{3}+272y^{2}-1065y+1444 =\left( y-4\right) \left( y^{3}-24y^{2}+176y-361\right) \end{eqnarray*} $$ todavía tenemos que encontrar las raíces de dos ecuaciones cúbicas, una en $x$ y el otros en $y$ $$ \begin{eqnarray} x^{3}-35x^{2}+397x-1444 &=&0 \tag{3} \\ y^{3}-24y^{2}+176y-361 &=&0. \end{eqnarray}$$

Sería posible encontrar las raíces de manera algebraica, pero el cálculo es tan larga que me calcula las raíces numéricamente en SWP $$ \begin{eqnarray*} x &\approx &7.8687,\quad x \approx 12.848,\quad x \approx 14.283 \\ y &\approx &3.4156,\quad y \approx 9.8051,\quad y \approx 10.779. \end{eqnarray*} $$

Editado. Sin embargo, estas soluciones no son las soluciones del sistema original. Para ejemplo, para$x\approx 7.8687$,$\sqrt{7.868\,7}+y=7$, podemos encontrar $ y\aprox 4.1949$, which is not a solution of $\sqrt{y}+x=11$ $$ \sqrt{4.1949}+7.8687\aprox 9.9168\neq 11, $$ y lo mismo para las otras soluciones. Así que la única solución es $\left( x,y\right) =\left( 9,4\right) $.

Añadido. Aquí es un gráfico de las dos curvas, $\sqrt{x}+y=7$ (azul) y $\sqrt{y}+x=11$ (negro), que se cruzan entre sí en $(x,y)=(9,4)$.

Answer 3

Tenga en cuenta que : $x,y \geq 0$

$(7-y)^2=11-\sqrt y$

sustituto $~\sqrt y = t~$ , así :

$(7-t^2)^2=11-t \Rightarrow t^4-14 \cdot t^2+49=11-t \Rightarrow t^4-14 \cdot t^2+t+38=0$

Tenga en cuenta que es posible entero no negativo soluciones de la ecuación de $~\sqrt x+y=7~$ son :

$(x,y) \in \{(1,6),(4,5),(9,4),(16,3),(25,2),(36,1),(49,0) \}$

Desde el par $(x,y)$ tiene que ser solución de la ecuación de $\sqrt y +x =11$ también tenemos que :

$(x,y)=(9,4) \Rightarrow \sqrt y=2 \Rightarrow t=2 ~$

Por lo tanto, el polinomio de $~t^4-14 \cdot t^2+t+38~$ tiene que ser divisible por $(t-2)$

Si se divide este polinomio por $(~t-2)~$ usando el Polinomio de la división larga método que va a obtener el polinomio :

$t^3+2t^2-10t-19$

Así que usted debe resolver la ecuación $~t^3+2t^2-10t-19=0~$ para obtener otras soluciones .

Esto puede hacerse utilizando la fórmula general de las raíces .

Answer 4

El OP pidió "medidas más fáciles" para resolver este sistema de ecuaciones. Aquí es lo que yo haría:

Dado que la incidencia expresiones son tan simples me gustaría tratar de obtener una visión global mediante el dibujo de una figura. Esto significa que tenemos que cruzan los dos gráficos $$y=7-\sqrt{x}\quad(x\geq0)\ ,\qquad y=(11-x)^2\quad(x\leq11)$$ (nota restricción de $x$ para el segundo gráfico!). Mirando la figura, enseguida se ve que no es exactamente un punto de intersección; una conjetura que este es el punto de $(9,4)$. Conectar este punto en el sistema original de ecuaciones se verifica que es de hecho una solución.

Con el fin de demostrar que no estábamos engañados por nuestros ojos hemos de probar que la función auxiliar $$f(x)\ :=\ (11-x)^2-(7-\sqrt{x})=114-22x+x^2+\sqrt{x}$$ tiene exactamente un cero en el intervalo de $[0,11]$. Por desgracia, la derivada $$f'(x)=-22+2x+{1\over 2\sqrt{x}}$$ no es estrictamente negativo en este intervalo de tiempo; así que tenemos que tomar algunas medidas adicionales: Al$0\leq x\leq5$$f(x)\geq 114-22x\geq4$, y al$10\leq x\leq11$$f(x)\leq 1-7+\sqrt{x} < -2$. Para el intermedio del intervalo de $[5,10]$ ahora podemos demostrar que $f$ es estrictamente decreciente: $$f'(x)\leq -22+20+{1\over 2\sqrt{5}} < -1\ .$$

Answer 5

Voy a resolver una relacionada con el sistema de ecuaciones: $$A + B^2 = 7$$ and $$B +A^2=11$$

La solución para $A$ en el primer da $$A=7-B^2$$ Sustituyendo esto en la segunda ecuación nos da $$B+(7-B^2)^2 = 11$$ from which we arrive at $$B^4 -14B^2+B+38=0$$

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Agregó Aquí, mi objetivo es encontrar una solución(s) a este cuarto grado (es decir, de cuarto grado) de la ecuación. No es un resultado teórico que nos dice lo que el racional (esto incluye a los números enteros) soluciones, si las hay.

Básicamente, el racional de la raíz teorema dice que en este caso, cualquier racional de la raíz se divide $38$.

Nosotros (la real que ... I) emplear una técnica conocida como sintéticos (polinomio) de la división. No voy a entrar en mucho detalle, excepto para mencionar que por lo general la prueba más pequeños posibles raíces de la primera... así que la prueba $\pm 1, \pm 2 $ nos da ese $B = 2$ es una solución. Cuando hemos agotado nuestro potencial racional raíces, vemos que esta es la única solución racional.

A continuación, se deduce que el $A=3$, ya que si $B = 2$, la primera ecuación se puede reescribir como $$A + 2^2 = 7$$