El volumen de la densidad de carga del átomo de hidrógeno

Question

El potencial de la hydrogenatom está dada por:

$$\phi(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e}{r} ( 1 + \frac{r}{a_0}) e^{-\frac{2r}{a_0}}$$

Yo no soy supone que para encontrar el volumen de la densidad de carga $\psi$, lo que produce un potencial, que conceptualmente es bastante simple, sólo una palmada en el Laplaciano de la izquierda lado y está básicamente hecho. Pero estoy teniendo algunos problemas en realidad la computación, aquí está lo lejos que he conseguido hasta ahora:

$$\nabla ^2 \phi(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \nabla ( \nabla \frac{e}{r} ( 1 + \frac{r}{a_0}) e^{-\frac{2r}{a_0}} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \nabla ( \nabla (\frac{e}{r} + \frac{e}{a_0})e^{-\frac{2r}{a_0}} + (\frac{e}{r} + \frac{e}{a_0}) \nabla e^{-\frac{2r}{a_0}}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} ( \nabla (\frac{e}{r} + \frac{e}{a_0}) \nabla e^{-\frac{2r}{a_0}} + \nabla^2 (\frac{e}{r} + \frac{e}{a_0})e^{-\frac{2r}{a_0}} + \nabla(\frac{e}{r} + \frac{e}{a_0})\nabla e^{-\frac{2r}{a_0}} + (\frac{e}{r} + \frac{e}{a_0}) \nabla^2 e^{-\frac{2r}{a_0}})$$

También tenemos una pista que dice que $\nabla^2 \frac{1}{r} = - 4\pi\delta^3(\vec r)$ donde $\delta$ es la función delta de dirac.

Tengo problemas calcular el Laplaciano de la exponenciales y obtener realmente resultados extraños que no sé cómo se usa. Alguien puede terminar mis cálculos a partir de este punto y me dicen cómo lo hicieron? Se lo agradecería enormemente

Answer 1

Por simplicidad, vamos a definir $$ f(r,\theta,\phi) = \frac{1}{r}, \qquad g(r,\theta,\phi) = e^{-2 r/\alpha_0}, \qquad \kappa = \frac{e}{4\pi\epsilon_0} $$ así que $$ \phi = \kappa\left( fg +\frac{1}{\alpha_0}g \right) $$ Ahora recuerdo que $$ \nabla^2(fg) = g\nabla^2f + f\nabla^2g + 2\nabla f\cdot\nabla g, $$ así que $$ \nabla^2\phi = \kappa\left(g\nabla^2f + f\nabla^2g + 2\nabla f\cdot\nabla g + \frac{1}{\alpha_0}\nabla^2 g\right) $$ Nota ahora que el esférico coordinar gradiente y el Laplaciano y divergencia, cuando actúa en una función sin dependencia angular ($\partial_\theta\psi = 0, \partial_\phi\psi=0$), son simplemente $$ \nabla\psi = (\partial_r\psi)\mathbf e_r, \qquad \nabla^2\psi = \frac{1}{r^2}\partial_r(r^2\partial_r\psi) $$ y, finalmente, el uso de $$ \nabla^2 \frac{1}{r} = 4\pi\delta^{(3)}(\mathbf r) $$ El resto es álgebra. Intentarlo de nuevo con estos hechos y ver si usted puede conseguir a trabajar!

Answer 2

Me di cuenta por el análisis dimensional de que la expansión de la Laplaciano producto no es correcto. En realidad, debería leer

\begin{equation} \nabla^{2} (fg) = g\nabla^{2}f + f\nabla^{2}g+2\nabla g \cdot \nabla f \end{equation}

Con esta expresión, ahora es posible obtener la respuesta correcta.