Mientras que el estudio de la probabilidad, la siguiente pregunta que se planteó fue:
Deje $H$ ser un evento y deje $\mathcal{H}=\lbrace H_\lambda|\lambda\in\Lambda\rbrace$ ser una familia de eventos en el espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},P)$, tal que para cada a $\lambda\in\Lambda$ el siguiente se tiene: $P(H_\lambda\cap H) = P(H_\lambda)P(H)$, es decir, los eventos de $H_\lambda$ $H$ son independientes. Deje $\mathcal{G}=\sigma(\mathcal{H})$ $\sigma$- álgebra generada por $\mathcal{H}$. Deje $G\in\mathcal{G}$ ser de cualquier evento. Se $G$ $H$ necesariamente independientes, es decir, no se sigue que la $P(G\cap H) = P(G)P(H)$?
Esto sería muy útil lema, creo. Yo tenía una idea para una prueba, pero el último paso no acaba de funcionar como se espera. El argumento fue como este:
Escribiremos $\mathcal{G}$ como una unión de un aumento de la secuencia de más juegos sencillos. Deje $\mathcal{B}_0 = \mathcal{H}$. Para cada sucesor ordinal $\alpha+1$ definir $\mathcal{A}_{\alpha+1} = \lbrace\bigcup\mathcal{J}|\mathcal{J}\subseteq\mathcal{B}_\alpha,\mathrm{card}(\mathcal{J})\leq\aleph_0\rbrace$, el conjunto de todos los contables de los sindicatos de los sets anteriores, y $\mathcal{B}_{\alpha+1}=\lbrace A|\Omega - A\in\mathcal{A}_{\alpha+1} \lor A\in\mathcal{A}_{\alpha+1}\rbrace$, la misma que con sus complementos añadidos. Para limitar los ordinales definimos $\mathcal{B}_\beta=\bigcup_{\alpha<\beta}\mathcal{B}_\alpha$. Definir finalmente,$\mathcal{B} = \bigcup_{\alpha<\omega_1}\mathcal{B}_\alpha$. Supongo que un sindicato debe tener sentido, ya que a cada paso nos quedamos dentro de $\mathcal{G}$ ...
Lo siguiente que queremos demostrar que $\mathcal{B}$ $\sigma$- álgebra y ya que cada conjunto en la construcción de esta $\sigma$-álgebra a es un subconjunto de a $\mathcal{G}$, debemos tener la $\mathcal{B} = \mathcal{G}$.
La única parte difícil de probar $\mathcal{B}$ $\sigma$- álgebra es el cierre contable de los sindicatos. Deje $(A_n)_n$ ser una secuencia de eventos en $\mathcal{B}$. A continuación, para cada una de las $n\in\mathbb{N}$ hay un ordinal $\alpha_n$ tal que $A_n\in\mathcal{B}_{\alpha_n}$. A continuación, debe haber algún ordinal $\gamma < \omega_1$ tal que $\forall n:\alpha_n \leq \gamma$. (Ya que de lo contrario $\omega_1$ sería una contables de la unión de countably muchos conjuntos que no puede ser, ya que no es contable. (Suponiendo que el axioma de elección.)) Así que estos eventos son todos los elementos de a$\mathcal{B}_\gamma$, lo que implica su contables de la unión, debe recaer en $\mathcal{A}_{\gamma+1}\subseteq\mathcal{B}_{\gamma+1}$ y, por tanto, en $\mathcal{B}$.
Yo esperaba que el resto seguiría por inducción transfinita: si $A\in\mathcal{B}_{\alpha+1}$ entonces $A\in\mathcal{A}_{\alpha+1}$ o $\Omega-A\in\mathcal{A}_{\alpha+1}$. El segundo caso sería seguir desde el primer caso el uso de complementos. Pero el primer caso es problemático: $P(A\cap H) = P((\bigcup_{E\in\mathcal{J}}E)\cap H) = P((\bigcup_{\tilde{E}\in\mathcal{J}_0}\tilde{E})\cap H) = \sum_{\tilde{E}\in\mathcal{J}_0}P(\tilde{E}\cap H)$. Aquí $\mathcal{J}\subseteq\mathcal{B}_\alpha$ existe por definición de $\mathcal{A}_{\alpha+1}$ $\mathcal{J_0}$ es un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes dando la misma unión. El problema es que un conjunto de $\mathcal{J_0}$ puede en este caso sólo se demuestre que se encuentran debajo de $\mathcal{B}_{\alpha+1}$, de modo que no se puede escribir $P(\tilde{E}\cap H) = P(\tilde{E})P(H)$.
Así que la prueba lamentablemente falla en este último paso.
Es esto una prueba de salvar? (Tal vez tomando relativa complementa su lugar, en la definición de $\mathcal{B}_{\alpha+1}$ o algo así?) Hace un lexema, incluso tienen, o tenemos que modificar? Son tales pruebas por inducción transfinita útil en la probabilidad?
A mí me parece probabilists implícitamente el uso de lemas como este todo el tiempo, así que también estoy preguntando si tal un lexema o similar sería, de hecho, ser útil.
[Comentario: La definición de $\mathcal{B}$ por encima de los utilizados originalmente $\mathbf{On}$, lo que fue una ligera exageración, lo cambié a $\omega_1$, tras la amable sugerencia de Asaf Karagila.]
Añadido: En un comentario más abajo Dilip Sarwate sugiere la siguiente variación en el problema:
Deje $H$ ser un evento y deje $\mathcal{H}=\lbrace H_\lambda|\lambda\in\Lambda\rbrace$ ser una familia de eventos en el espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},P)$, de tal manera que la familia de eventos $\mathcal{H}\cup\lbrace H\rbrace$ es independiente, es decir, por cada finito $\mathcal{S}\subseteq\mathcal{H}\cup\lbrace H\rbrace$ tenemos $P(\bigcap_{E\in\mathcal{S}}E) = \Pi_{E\in\mathcal{S}}P(E) $ donde $\Pi$ denota el producto de las probabilidades, como de costumbre. Deje $\mathcal{G}=\sigma(\mathcal{H})$ $\sigma$- álgebra generada por $\mathcal{H}$. Deje $G\in\mathcal{G}$ ser de cualquier evento. Se $G$ $H$ necesariamente independientes, es decir, no se sigue que la $P(G\cap H) = P(G)P(H)$?
Este caso realmente me interesa aún más que la "pregunta original", ya que es en este caso que yo realmente necesitaba. (Yo pensaba que de alguna manera que yo pueda sacar más provecho de ella mediante la relajación de las condiciones a lo que la pregunta dice. Tonto de mí.)
