La rana de puzzle

Question

Así que aquí está el rompecabezas. Estás envenenado en la selva y la única manera de salvar a sí mismo es lamer un tipo especial de la rana. Para empeorar las cosas, sólo la hembra de la especie que va a hacer. Lamiendo el macho de la rana no hace nada. El macho y la hembra ranas parecen idénticos. La única diferencia es que el macho de la rana hace un sonido y la hembra está en silencio.

Así que se ejecuta a través de la selva y de lugar a una rana en frente de usted. Antes de que pudiera empezar a correr hacia ella puede oír un sonido detrás de usted. Te das la vuelta y punto dos ranas no. Sólo hay tiempo para correr a un lado.

Ahora, el mejor curso de acción es para correr en pos de las dos ranas y lamer ambos. El razonamiento es que existen 4 posibles combinaciones de dos ranas y sabiendo que uno de ellos es el de un varón elimina sólo una de esas posibilidades. De los tres restantes, dos de ellos tienen al menos una rana hembra. Esto le da un $\frac 2 3$ de probabilidades de supervivencia frente a un $\frac 1 2$ con la única rana.

Ahora aquí está mi problema. La razón por la que esto funciona es porque no sabe que la rana hizo el sonido. Si no, usted tendría una $50\%$ de probabilidad con el otro. Pero no lo que implica que, si por alguna razón se giró anteriores para ver que uno hizo el sonido, que disminuiría sus posibilidades de supervivencia? ¿Cuál es la explicación aquí?

Answer 1

En los dos rana escenario, el evento "Un croar fue escuchado" no es el mismo que el suceso "al menos una rana es un hombre".

Hay ocho posibilidades: la "izquierda" de la rana puede ser femenina o masculina, el "derecho" de la rana puede ser femenina o masculina, y exactamente un croar se emite o no. Suponiendo que los machos croar con una probabilidad de $p$, mientras que están en su presencia, y todo lo que es independiente, en la siguiente tabla enumera los ocho posibilidades y las probabilidades: $$ \begin{array}{c|l|c|c|c|c} \text{Outcome} & \text{Probability} &\text{One croak?}&\text{F present?}&\text{At least one M?}\\ \hline FF0 & \frac14 & & Y&\\ FF1 &0&Y&Y&\\ FM0 &\frac14(1-p) &&Y&Y\\ FM1&\frac14p&Y&Y&Y\\ MF0&\frac14(1-p)&&Y&Y\\ MF1&\frac14p&Y&Y&Y\\ MM0&\frac14(p^2+(1-p)^2)&&&Y\\ MM1&\frac14\cdot 2p(1-p)&Y&&Y\\ \end{array} $$ Utilizando la tabla de arriba, la probabilidad de sobrevivir dado que escuchó un graznido es $$ P(\text{F presente}\mid\text{uno croak})=\frac{P(FF1,FM1,MF1)}{P(FF1,FM1,MF1,MM1)}=\frac{0+\frac14p+\frac14p}{0+\frac14p+\frac14p+\frac142p(1-p)}=\frac1{2-p}. $$ Esto hace sentido intuitivo, porque si los hombres croar todo el tiempo ($p=1$), luego para asegurarse de que el otro rana es femenina; si los hombres croar, pero muy rara vez, luego de un sorteo, si el resto de la rana es una mujer. Tenga en cuenta que la anterior probabilidad nunca es menor que $\frac12$, así que los dos de la rana lamer siempre es una mejor estrategia que la de una rana lamer.

Utilizando la tabla de arriba, la probabilidad de $P(\text{survive}\mid\text{at least one M})$ es calculado correctamente como $2/3$, pero este resultado no es ni de aquí ni de allí, porque no observar ese evento.

En cuanto a tu otra pregunta, se puede modificar el resultado en el espacio para especificar si la izquierda de la rana con voz ronca o la de la derecha. Con un similar enumeración de lo anterior, la prob de que sobrevivir dado que escuchó un graznido de sólo la izquierda de la rana es: $$P(\text{F presente}\mid\text{sólo a la izquierda de la rana con voz ronca}) ={P(M1F0)\más P(M1F0,M1M0)}={\frac12p\cdot\frac121\over\frac12p\cdot\frac121+\frac12p\cdot\frac12(1-p)}=\frac1{2-p}, $$ exactamente la misma probabilidad como cuando no sabía que la rana con voz ronca. La probabilidad de supervivencia, dado que sólo el derecho de la rana con voz ronca es el mismo. Conclusión: el conocimiento de que la rana con voz ronca no baja su probabilidad de supervivencia.

Answer 2

¿Por qué es esto un problema para usted?

Supongamos que usted tenía una lotería con 4 personas. Hay 3 azul pedazos de papel y 1 roja. Quien dibuja el rojo va a ser asesinado. Usted se figura que sus posibilidades de sobrevivir son de 3 a 4. Persona (no usted) es llamado hacia adelante y saca un papel. Es azul. Así que ahora usted figura que sus posibilidades de sobrevivir se ha reducido a 2 en 3. ¿Cómo saber algo inferior a sus posibilidades? Bueno, ya que elimina las posibilidades.

Entonces, ¿por qué es este un problema con las ranas?

Hay 8 posibilidades para el género, de 3 de ranas.

MM|M Espalda: MALO, Frente MALO

MM|F Espalda: MALA, BUENA Delantera

MF|M Espalda: BIEN, Frente a la MALA

MF|F Espalda: BUENA, BUENA Delantera

FM|M Espalda: BIEN, Frente a la MALA

FM|F Espalda: BUENA, BUENA Delantera

FF|M Espalda: BIEN, Frente a la MALA

FF|F Espalda: BUENA, BUENA Delantera

Así que si quieres lamer el frente de sus posibilidades de sobrevivir son 4/8 = 1/2. Si lamer la parte de atrás de tus posibilidades son de 3/4.

Si usted oye un croar que eliminar 2 posibilidades y se quedan con:

MM|M Espalda: MALO, Frente MALO

MM|F Espalda: MALA, BUENA Delantera

MF|M Espalda: BIEN, Frente a la MALA

MF|F Espalda: BUENA, BUENA Delantera

FM|M Espalda: BIEN, Frente a la MALA

FM|F Espalda: BUENA, BUENA Delantera

FF|M Espalda: IMPOSIBLE

FF|F Espalda: IMPOSIBLE

Lamiendo el frente da a sus posibilidades en 3/6 = 1/2. Lamer la espalda le da la oportunidad de 4/6 = 2/3.

Si usted da vuelta y ver la primera rana croar ha eliminado 4 posibilidades y se quedan con:

MM|M Espalda: MALO, Frente MALO

MM|F Espalda: MALA, BUENA Delantera

MF|M Espalda: BIEN, Frente a la MALA

MF|F Espalda: BUENA, BUENA Delantera

FM|M IMPOSIBLE

FM|F Espalda: IMPOSIBLE

FF|M Espalda: IMPOSIBLE

FF|F Espalda: IMPOSIBLE

Ahora bien lamer la espalda y sus posibilidades son 2/4 =1/2 o lamer la parte delantera y sus posibilidades son 2/4 = 1/2.

Answer 3

Su segunda parte es correcta, es decir, que si usted sabe que una voz ronca, entonces usted tiene un $\frac{1}{2}$ de probabilidad con el otro. Voy a tratar de conseguir la primera parte de la derecha, porque no creo que la respuesta es $\frac{2}{3}$.

Como usted ha mencionado, una de las ranas con voz ronca, así que hay al menos un macho de la rana de los dos. ahora se divide en 2 casos:

i) Tanto las ranas son hombres. En este caso, usted no independientemente de cual lamer, su probabilidad de éxito es cero.

ii) Una es mujer, uno es macho: En este caso, de tener éxito con la mitad de la probabilidad.

Así que el total de la probabilidad de éxito, cuando sólo se oye y no ve un croar, es $\frac{1}{2}\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. Así que, como era de esperar, es mejor cuando se sabe que la rana con voz ronca. La moraleja de la historia es, tenemos que tener más cuidado, mientras que el cálculo de probabilidades.

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