Aplicaciones del Teorema del Residuo en la Evaluación de Integrales y Sumas

Question

Evaluar la integral

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1 + x^2)^{n+1}} dx. $$

Sé que es igual a $2\pi i$ (la suma de los residuos; en $z_k$) donde $z_k$ son los polos de la función. Puedo evaluar esto sin el $n+1$ pero eso me está causando serios problemas.

Answer 1

Para este caso, considerar

$$\oint_C \frac{dz}{(1+z^2)^{n+1}}$$

donde $C$ es un semicírculo de radio $R$ en el plano superior. Por el teorema de los residuos, la integral de contorno es igual a $i 2 \pi$ veces el residuo en el polo $z=i$. Notando que la integral alrededor del semicírculo desaparece como $1/R^{2 n+1}$ cuando $R \to \infty`, tenemos

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^{n+1}} = i 2 \pi \operatorname*{Res}_{z=i} \frac{1}{(1+z^2)^{n+1}}$$

Ahora,

$$\operatorname*{Res}_{z=i} \frac{1}{(1+z^2)^{n+1}} = \frac{1}{n!} \left [\frac{d^n}{dz^n} \frac{1}{(z+i)^{n+1}}\right ]_{z=i} = \frac{(2 n)!}{(n!)^2} \frac{(-1)^n}{(2 i)^{2 n+1}}$$

Por lo tanto

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^{n+1}} = \frac{\pi}{2^{2 n}} \binom{2 n}{n}$$

Answer 2

Una técnica relacionada. Aquí hay un enfoque. Sigue los pasos

i)

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^{n+1}}dx = 2\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^{n+1}}dx $$

ii) Cambio de variables

$$ 1+x^2=\frac{1}{t} $$

iii) Usa la función $\beta$

$$ \mathrm{\beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)},\quad \textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0.\, $$

Answer 3

Para general $\Re n>-\frac{1}{2}$, consulte la respuesta de Mhenni Benghorbal. Sin embargo, si $n$ es un entero no negativo, también puedes sustituir $x=\cot\phi$, resultando en $$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(1+x^2)^{n+1}}\mathrm{d}x = \int_0^\pi\sin^{2n}\phi\,\mathrm{d}\phi \stackrel{(*)}{=} \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\sin^{2n}\phi\,\mathrm{d}\phi$$ y luego usar esta pregunta y respuesta para calcular la última integral con el teorema del residuo. Nota: el requisito de que $n$ sea un entero entra en juego en (*).

Edición: Propongo la sustitución anterior porque aplicar directamente el teorema del residuo en el plano complejo $x$ requeriría descomposiciones en fracciones parciales dependiendo de $n$ o una expansión en serie de $(1+x^2)^{-(n+1)}$, ambas doables pero requieren más trabajo.