Aproximación de una suma extraña

Question

¿Cómo puedo aproximar la suma $$\sum_{k=1}^n \left(\frac{2k}{n} \left\lceil \frac{n}{k} \right\rceil \left\{ \frac{n}{k} \right\}-1\right)$$ donde $\{x\}$ es la función de la parte fraccionaria, y $\lceil x\rceil$ es la función de techo.

Sé que si divido por $n$ y que $n\to\infty$ es igual a $0$ . Al principio pensé que la suma podría ser del orden de $n^a$ pero ahora creo que podría ser logarítmico. Las sumas parciales son muy raras. Agradecería cualquier ayuda para dar un valor aproximado a la suma.

Answer 1

Una observación: dejemos $\rm f(n)=\sum_{k=1}^n \left(\frac{2k}{n} \left\lceil \frac{n}{k} \right\rceil \left\{ \frac{n}{k} \right\}-1\right)$ y $\rm \mu(n)$ sea la media de $\rm f(1),\ldots,f(n)$ . Entonces $\rm \mu(n)$ es logarítmica:

.

al igual que la desviación estándar:

por lo que probablemente se podría llegar a una estimación numérica para un límite en función de $\rm n$ con bastante facilidad, aunque parece que $\rm f$ no tiene límites, ya que $\rm n\rightarrow\infty$ .

EDIT: Los límites superior e inferior parecen comportarse realmente como los de la función sumatoria del divisor . Tal vez deberías mirar eso.