Evaluar el % de la suma $\sum\limits_k \ k\binom{n}{k}^2$con generación de funciones

Question

Tengo que evaluar esta expresión $\sum\limits_k \ k\binom{n}{k}^2$ mediante la generación de función. Me podrían ayudar por favor? También con algunos consejos.

Answer 1

Sugiero que interpretar la suma como la convolución de la generación de la función con coefficents $k\binom{n}{k}$$\binom{n}{k}$.

Answer 2

Supongamos que estamos tratando de evaluar $$\sum_{k=0}^n k {n\choose k}^2.$$

Tenga en cuenta que $$k{n\elegir k} = \frac{n!}{(k-1)! (n-k)!} = n \frac{(n-1)!}{(k-1)! (n-k)!} = n{n-1 \elegir k-1}.$$

Esto significa que la suma es de hecho $$n\sum_{k=1}^n {n\choose k} {n-1\choose k-1}.$$

Introducir la representación integral $${n-1\elegir k-1} = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{n-1}}{z^k} \; dz.$$

Observar que el integrando es todo al$k=0$, por lo que podemos extender la suma en su límite inferior para incluir a cero, consiguiendo $$\frac{n}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} (1+z)^{n-1} \sum_{k=0}^n {n\elegir k} \frac{1}{z^k} \; dz \\ = \frac{n}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} (1+z)^{n-1} \left(1+\frac{1}{z}\right)^n \; dz \\ = \frac{n}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{(1+z)^{2n-1}}{z^n} \; dz.$$

Esto puede ser evaluado mediante inspección y produce el resultado $$n \times [z^{n-1}] (1+z)^{2n-1} = n\times {2n-1\elegir n-1} = n\times {2n-1\elegir n}.$$