¿Para que un subconjunto infinito de $\mathbb Z$ y $\alpha$, de número irracional es $\{e^{k\alpha \pi i}: k\in A \}$ denso en $S^1 $?

Question

Hay un conocido resultado diciendo que $\{e^{k\alpha \pi i}: k\in \mathbb Z \}$ es denso en $S^1$. Por la densidad, se puede seleccionar un subconjunto infinito $A$ $\mathbb Z$ tal que $\{e^{k\alpha \pi i}: k\in A \}$ no es denso en $S^1$ más. Así que hay una pregunta natural:

¿Para qué tipo de infinito subconjunto a de $\mathbb Z$ y el número irracional $\alpha$ $\{e^{k\alpha \pi i}: k\in A \}$ denso en $S^1 $ ?

Me siento como si contiene una colección de una infinita sucesión Aritmética(como 1,3,5,...), $\{e^{k\alpha \pi i}: k\in A \}$ debe ser densa en $S^1$(no sé cómo probar esto). Pero esto no se ve como una condición necesaria. Creo que un "básico" problema debe ser estudiado antes, por lo que cada solución o solución parcial(para tipos específicos de Un) o de referencia será apreciada!

Answer 1

Ciertamente, no es necesario que $A$ contiene una infinita sucesión aritmética, ni siquiera arbitrariamente larga sucesión aritmética. De hecho, el conjunto de $A$ puede ser tan escasa como te gusta en el siguiente sentido: para cualquier irracional $\alpha$ y cualquier secuencia de números naturales $n_1 < n_2 < n_3 < ...$ podemos encontrar un subconjunto $A$ de los números naturales con sus elementos listados en orden creciente como $A=\{a_1,a_2,a_3,...\}$ tal que $a_j \ge n_j$ todos los $j$ que $\{e^{k \alpha\pi i} : k \in A\}$ es densa.

Para probar esto, elija $B_1,B_2,...$ a ser un contable de base para la topología en $S^1$. A continuación, definir los elementos $a_j$ $A$ por inducción sujeto a las condiciones estipuladas más la condición adicional de que $e^{a_j \alpha \pi i} \in B_j$. La elección siempre es posible debido a que en cada etapa $j$ de la inducción, sólo un número finito de valores de $k$ no están permitidas por las etapas anteriores, y sin embargo lo que queda después de extraer un número finito de valores de $e^{k \alpha \pi i}$ todavía es un subconjunto denso de $S^1$ y por lo tanto, hay infinitamente muchos de esos valores a elegir en $B_j$.