$\frac1{2\pi\rho^n}\int_{-\pi}^{\pi}\exp\left(\frac{2+\rho\cos\theta}{4+4\rho\cos\theta+\rho^2}\right)\cos\beta_nd\theta$ no depende de$\rho$.

Question

Dejar

ps

dónde $$\beta_n=\frac{\rho\sin\theta}{4+4\rho\cos\theta+\rho^2}+n\theta$. ¿Alguien podría darme algunos consejos para probar analíticamente que

ps

no depende de$0<\rho<2$?

Answer 1

De hecho, observe que la integral puede ser escrita por

\begin{align*} \operatorname{Re}\int_{-\pi}^{\pi} \exp\left( \frac{1}{2+\rho e^{i\theta}} \right) e^{-in\theta} \, d\theta &= \rho^n \operatorname{Im}\int_{|z|=\rho} \exp\left( \frac{1}{2+z} \right) \frac{dz}{z^{n+1}} \\ &= 2\pi \rho^n \underset{z=0}{\operatorname{Res}} \left\{ \exp\left( \frac{1}{2+z} \right) \frac{1}{z^{n+1}} \right\}. \end{align*}

Por lo tanto, la integral depende de$\rho$. (Bueno, no depende de$\rho$ si$n = 0$.)