Permitir que$B$ sea un espacio de Banach,$H,K$ ser subespacios cerrados y dejar que$K$ sea de dimensión finita.
Supongamos que$B = H\oplus K$ y$T:B\to B$ es un operador lineal limitado.
¿Cómo muestro que$T(B)$ está cerrado$\iff$$T(H)$ está cerrado?
Respuesta
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La interna de la suma de un subespacio cerrado y finito-dimensional subespacio cerrado, así que, si $T(H)$ es cerrado, a continuación, $T(B) = T(H) + T(K)$ es cerrado. (Ver la solución del ejercicio 41 aquí o en los comentarios de abajo para una prueba).
En el otro sentido, podemos suponer que las $T$ es inyectiva, de lo contrario, consideramos que la factorización de $T$ $B/\ker T = (H / (H \cap \ker T)) \oplus (K / (K \cap \ker T))$ (teniendo en cuenta que $T$ y su factorización tienen la misma imagen).
Supongamos que $T(B)$ es cerrado. A continuación, $T(H)$ es un subespacio de $T(B)$ finito de codimension, por lo que tiene una expresión algebraica complementar $Z$, lo $T(B) = T(H) \oplus Z$ como espacios vectoriales. Desde $Z$ es finito-dimensional, $Z$ es cerrado, por lo que el operador lineal $S \colon H \oplus Z \to T(B)$ definido por $S(h,z) = T(h) + z$ es un continuo lineal bijection entre espacios de Banach, por lo que es un homeomorphism por la asignación abierta teorema. Desde $H$ es cerrado en $H \oplus Z$, $T(H) = S(H,0)$ es cerrado en $T(B)$.
