La Topología Asociada a la Convergencia en Medida

Question

Estoy asistiendo a un curso sobre teoría de la medida este semestre. Mientras se proponen diferentes tipos de convergencia (en medida, casi en todas partes y en $L^{p}$), nuestro profesor hizo hincapié (y demostró) en el hecho de que la convergencia casi en todas partes no es topológica, pero afirmó que la convergencia en medida sí lo es.

Como se señala en algunas preguntas en este sitio y en Wikipedia (1, 2, 3), en el caso en que $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ es un espacio de medida finito, la convergencia en medida puede ser descrita por un seudométrica (por lo tanto, una topología). Sin embargo, no he encontrado una respuesta a por qué al menos debería existir una topología en el caso en que $\mu$ es una medida arbitraria. Wikipedia (3) afirma que su seudométrica funciona para medidas arbitrarias, pero la función propuesta puede tomar $\infty$ como valor, lo cual creo que no está permitido para métricas.

En resumen: sea $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ un espacio de medida (no necesariamente finito), ¿existe una topología $\mathcal{T}$ en el conjunto de funciones medibles $f : \Omega \to \mathbb{R}$ tal que una secuencia de funciones medibles $(f_{n})_{n}$ converge a una función medible $f$ en medida si y solo si converge a $f$ en la topología $\mathcal{T}$? Extra: ¿Es esta topología única?

¡Gracias por tu ayuda! He tenido cursos introductorios en topología (espacios métricos), espacios de Banach (Hilbert) y ahora teoría de la medida.

Answer 1

¡La convergencia en medida no solo es inducida por una topología, de hecho está inducida por una métrica! Es cierto que no es del todo obvio cómo llegar a ella, pero aquí está: $$d(f,g) := \inf_{\delta > 0} \big(\mu(|f-g|>\delta) + \delta\big)$$ (Lo encontré hace un tiempo en este libro) En general, esta es una métrica con valores en $[0,\infty]$, pero como se mencionó anteriormente, esto no es un problema porque podrías usar $d':=d\wedge 1$ o $d'':=\frac{d}{1+d}$ para obtener la misma topología.

Solo un dato curioso: Lo interesante es que puedes saber que debe existir alguna métrica incluso sin tener un candidato específico, porque el espacio de funciones medibles con convergencia en medida es un espacio vectorial topológico de primera cuenta y todos estos son metrizables.

EDIT: En cuanto a la pregunta de la unicidad: Ya se ha señalado que la convergencia de secuencias por sí sola no determina de manera única una topología. No a menos que agregues otras propiedades. Por ejemplo, hay una topología única metrizable/cuasi-metrizable/de primera cuenta que induce exactamente esta convergencia de secuencias.

Answer 2

Sí, definir $d'=d\wedge1$ funciona bien, ya que las bolas de diámetro $<1$ siguen formando una base para la topología. Pero en lo que respecta a la topología inducida por $d$, no hay nada malo en que $d$ tome valores infinitos también.

En cuanto a la unicidad, las topologías metrizables están completamente determinadas por sus secuencias convergentes, ya que un subconjunto $S$ está cerrado si incluye todos los límites de secuencias convergentes en $S$. Las topologías más generales están completamente determinadas por sus redes convergentes por la misma razón. Así que podría haber una topología diferente que define la convergencia de secuencias en medida, pero no definiría la convergencia de redes más generales en medida y no sería inducida por ninguna métrica.