¿Existe una versión de una cola de la desigualdad de Vysochanskiï-Petunin, como la de Chebyshev?

Question

En Desigualdad de Vysochanskiï-Petunin da un límite más estricto que Chebyshev para distribuciones unimodales . Me pregunto si existe una versión de una cola, como la de Desigualdad de Chebyshev ? Ayuda, por favor.

Answer 1

Se trata de variables aleatorias continuas con densidades unimodales. El artículo de Wikipedia que enlazas dice

para cualquier $ \lambda \gt \sqrt{8/3}=1.63299\ldots$ , tienes $\Pr(\left|X-\mu\right|\geq \lambda\sigma)\leq\dfrac{4}{9\lambda^2}.$

Este que escribí hace muchos años y no he revisado recientemente, dice (intentando traducir a una notación similar)

Caso unimodal de dos colas:

• Si $\lambda \ge B $ entonces $\Pr(|X-\mu|\ge \lambda\sigma) \le \dfrac{4 }{\; 9 \lambda^2}$
• Si $\lambda \le B $ entonces $\Pr(|X-\mu|\ge \lambda\sigma) \le 1-\left(\dfrac{4 \lambda^2}{3(1+\lambda^2)}\right)^2$

donde B es la raíz mayor de $7x^6-14x^4-x^2+4=0$ sobre $1.38539\ldots...$

que parece similar pero ligeramente más fuerte.

También dice

Caso unimodal de una cola:

• $\Pr(X-\mu \ge \lambda\sigma) \le \max \left\{ \dfrac{4}{9(1+\lambda^2)}, \dfrac{3-\lambda^2}{3(1+\lambda^2)} \right\}$

por lo que tomando el primer término si $\lambda \ge \sqrt{\frac{5}{3}}$ y la segunda si $0 \le \lambda \le \sqrt{\frac{5}{3}}$