Una transformación lineal cuyo dominio tiene mayor dimensión que el espacio objetivo

Question

Tengo una duda en esta pregunta. Me gustaría comprobar si mi respuesta para la letra a es correcta y una pista para la letra b.

Sea $T:U\rightarrow V$ sea una transformación lineal donde $U$ y $V$ son espacios vectoriales tales que $\dim_\mathbb{K}V<\dim_\mathbb{K}U < \infty$ .

a) Demuestre la existencia de un elemento distinto de cero $u \in U$ tal que $T(u) = 0$ .

b) Que $\mathbb{B}$ sea una base arbitraria de $U$ . ¿Existe siempre un vector $u \in \mathbb{B}$ tal que $T(u) = 0$ ? Demuéstrelo o dé un contraejemplo.

Mi intento:

a) Sea $\dim_\mathbb{K}V = n$ , $\dim_\mathbb{K}U = m$ y $B_U= \{ u_1, ..., u_n\}$ sea una base de U, entonces

$u$ = $\sum_{i=1}^m \alpha_i u_i \Longrightarrow T(u) = \sum_{i=1}^m \alpha_i T(u_i)$

$n = \dim_\mathbb{K}V < dim_\mathbb{K}U = m$ por lo que todos los conjuntos linealmente independientes en $V$ tienen como máximo 'n' elementos, pero

$A = \{ T(u_1), ..., T(u_m) \}$ tiene $A = m > n$ Por lo tanto $A$ depende linealmente. En otras palabras,

$\sum_{i=1}^m \alpha_i T(u_i) = 0$ para algunos $0<i<m+1$ . Por lo tanto, existe un $u \in U$ tal que $T(u) = 0$ .

b)

Para esta pregunta no tengo ni idea, pero creo que necesito usar mi desarrollo en 'a'.

Answer 1

Se nos da que $T:U\to V$ es un mapa lineal donde $U$ y $V$ son espacios vectoriales de dimensión finita tales que $\dim(V)<\dim(U)$ .

He aquí una solución más eficaz para ( a ) utilizando el teorema de la nulidad de rango .

Obsérvese que el teorema de la nulidad de rango implica que $$ \dim\bigl(\ker T\bigr)=\dim(U)-\dim\DeclareMathOperator{im}{im}\bigl(\im T\bigr)\tag{1} $$ Pero $\im(T)$ es un subespacio de $V$ así que $$ \dim\bigl(\im T\bigr)\leq\dim V\tag{2} $$ Combinando (1) y (2) se obtiene $$ \dim\bigl(\ker T\bigr)\geq\dim(U)-\dim(V)\tag{3} $$ Pero la desigualdad $\dim(V)<\dim(U)$ implica que $\dim(U)-\dim(V)>0$ . Así, (3) da $$ \dim\bigl(\ker T\bigr)>0 $$ En particular, esto implica que existe un $u\in U$ tal que $T(u)=\mathbf 0$ .

Para abordar ( b ) escribamos algunos ejemplos relevantes. Mapas lineales $T:\Bbb R^2\to\Bbb R$ son siempre de la forma $T(x,y)=ax+by$ para algunos $a,b\in\Bbb R$ . También disponemos del base estándar $\{e_1=(1,0),e_2=(0,1)\}$ de $\Bbb R^2$ . ¿Puedes encontrar $a$ y $b$ tal que $T(e_1)\neq0$ y $T(e_2)\neq 0$ ?

Answer 2

Para corregir su (a). Cualquier vector en $U$ puede escribirse como $\sum \alpha_i u_i$ y la imagen correspondiente bajo $T$ puede escribirse como $\sum \alpha_i T(u_i)$ . Como ha señalado correctamente $\{ T(u_1), \dots T(u_n) \}$ deben ser linealmente dependientes. Por definición, esto implica la existencia de algunos escalares $\beta_1, \dots , \beta_n$ no todos iguales a $0$ tal que $\sum \beta_i T(u_i) = 0$ . Y como $T$ es lineal se obtiene $T(\sum \beta_i u_i) = 0$ es decir, si defina $u := \sum \beta_i u_i$ entonces $T(u) = 0$ y $u \neq 0$ ya que algunos $\beta_j$ es distinto de cero.

Otra forma de demostrarlo, similar a la respuesta de @Brian Fitzpatrick, es ir por contradicción. Supongamos que no hay tal $u$ existe. Esto implica que $T$ es inyectiva, es decir $V$ contendría un subespacio, a saber $T(U)$ que tiene mayor dimensión que $V$ .

La pregunta b) ha sido respondida en los comentarios.