Una forma algebraica de demostrar alguna identidad

Question

Encontré el siguiente hecho de forma accidental.

Datos : Dejemos que $d, n \in \mathbb{N}$ y $n \geq d+2$ . Supongamos que $\lambda_1, \ldots , \lambda_n$ son números complejos distintos. Entonces se cumple lo siguiente; $$ \sum_{k=1}^n \left[ \prod_{j=1 \\ j \neq k}^n \frac{1}{\lambda_k - \lambda_j} \right] \lambda_k^d = 0.$$

Pude demostrarlo mediante un análisis complejo. De hecho, considere el lado izquierdo como una función racional de $\lambda_n \in \mathbb{C}$ y llamarlo $f$ . $f$ tiene sigularidades en $\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}$ . Sin embargo, el cálculo del residuo de $f$ en $\lambda_k$ obtenemos $$ \mbox{Res}(f, \lambda_k) = - \left[ \prod_{j=1 \\ j\neq k}^{n-1} \frac{1}{\lambda_k - \lambda_j} \right] \lambda_k^d + \left[ \prod_{j=1 \\ j\neq k}^{n-1} \frac{1}{\lambda_k - \lambda_j} \right] \lambda_k^d = 0$$ de ahí que veamos que esas singularidades son realmente eliminables. Así, $f$ está completo. Y como $n\geq d+2$ , $f(\lambda_n) \to 0$ cuando $\lambda_n \to \infty$ . Por el teorema de Liouville $f = 0$ como se afirma. Así que mi pregunta es si podemos demostrar esta identidad de una manera puramente algebraica. Quiero saber esto porque, si hay una manera, probablemente esta identidad se puede extender a otros campos que $\mathbb{C}$ .

Answer 1

Dejemos que $P(x)=(x-\lambda_1)\cdots (x-\lambda_n)$ , $F(x)=\frac{x^d}{P(x)}$ . Entonces la descomposición de $F$ en fracción simple es $$F(x)=\sum_{k=1}^n \frac{c_k}{x-\lambda_k}$$ Tenemos $c_k=\lambda_k^d/(P^{\prime}(\lambda_k))$ . Ahora multiplique por $x$ , dejemos que $x\to \infty$ y tener en cuenta que $n\geq d+2$ .

Answer 2

Esto proviene de la interpolación de Lagrange. Si $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ son distintos, y $P$ es un polinomio de grado $\le n-1$ entonces $$P(x)=\sum_{j=1}^n\prod_{k:k\ne j}P(\lambda_j)\frac{x-\lambda_k}{\lambda_j-\lambda_k}.$$ Para demostrarlo, llame a la RHS $Q(x)$ y observe que $Q(x)$ es un polinomio de grado $\le n-1$ con $P(\lambda_j)=Q(\lambda_j)$ . Su diferencia tiene $n$ ceros pero tiene un grado menor que $n$ .

Tome $P(x)=x^d$ para $d\le n-2$ . Entonces $$x^d=\sum_{j=1}^n\prod_{k:k\ne j}\lambda_j^d\frac{x-\lambda_k}{\lambda_j-\lambda_k}.$$ Comparación de $x^{n-1}$ coeficientes, $$0=\sum_{j=1}^n\prod_{k:k\ne j}\frac{\lambda_j^d}{\lambda_j-\lambda_k}.$$