$F: M_n \to M_n$,$F(m) := m^3$, ¿cuál es la derivada?

Question

Recordamos que$F: U \to Y$, con$U \subset X$ open y$(X, \|\cdot \|_X)$ y$(Y, \|\cdot|_Y)$ espacios vectorizados, es diferenciable en$x \in U$, si hay un mapa lineal continuo$S_x: X \to Y$, que es la derivada de$F$ en$x$, tal que$$\lim_{\|h\|_X \to 0} {{\|F(x + h) - F(x) - S_x(h)\|_Y}\over{\|h\|_X}} = 0.$$Let $ M_n$ be the space of $ n \ times n$ real-valued matrices and define $ F: M_n \ a M_n$ by $ F (m): = m ^ 3$. How do I see that $ F$ is differentiable at every $ m \ en M_n $? ¿Cuál es su derivado?

Answer 1

Insinuación :-

$||(M+h)^3-M^3||\ =\ ||(M^2+Mh+hM+h^2)(M+h)-M^3||\ =\ \\ ||M^2h+MhM+Mh^2+hM^2+hMh+h^2M+h^3||$.

Como la derivada es un Mapa lineal, encuentre los términos que son "Lineales" en$h$ y vincule el resto de los términos usando la condición de$||h||\rightarrow 0$.