Construya una medida meramente aditiva en un$\sigma$ - álgebra

Question

Es posible dar una construcción explícita de un conjunto de función, definida en un $\sigma$-álgebra, con todas las propiedades de una medida, excepto que es meramente finitely aditivo y no countably aditivo?

Permítanme elaborar. Por "explícito" me refiero a que el ejemplo no debe apelar a la no-métodos constructivos como el de Hahn-Banach teorema o la existencia de libre ultrafilters. Soy consciente de que algunos de estos ejemplos existen, pero estoy buscando algo más concreto. Si este tipo de construcciones no son posibles, estoy especialmente interesado en la comprensión de por qué eso es así.

Esta pregunta es similar, pero, hasta donde yo puedo decir, no idéntica a la de varias otras preguntas en este sitio y MO. Por ejemplo, he aprendido que la prueba de la existencia de la "entero de la lotería" en la $P(\mathbb{N})$ requiere el Axioma de Elección (http://mathoverflow.net/questions/95954/how-to-construct-a-continuous-finite-additive-measure-on-the-natural-numbers).

Ese es el tipo de resultado que me interesa, pero eso no responde a mi pregunta. Mi pregunta no requiere que el $\sigma$-álgebra en cuestión se $P(\Omega)$, y estoy interesado en general,$\Omega$, no sólo a $\Omega = \mathbb{N}$.

Answer 1

El resultado que el de Hahn-Banach es equivalente a la existencia de un [trivial] finitely aditiva de la probabilidad de medir de manera arbitraria el álgebra Booleana es debido a Luxemburgo. Tenga en cuenta que nosotros no requerir incluso el álgebra Booleana a ser $\sigma$-completa. Van a salir en una extremidad, voy a adivinar que el trabajo con sólo $\sigma$-álgebras no recibe toda la fuerza de la HB teorema, pero sólo algo lo suficientemente cerca.

Usted puede encontrar un razonablemente detallada de la prueba (junto con muchos otros equivalentes de Hahn-Banach teorema) de Eric Schechter del libro "Manual de Análisis y de sus Fundamentos" en la página 620.

(Cuando se mira en el libro, recuerde que Schechter llama a un finitely aditivo medida de un "cargo".)

Answer 2

La pregunta es:

"Es posible dar una construcción explícita de un conjunto de función, definida en una sigma-álgebra, con todas las propiedades de una medida, excepto que es meramente finitely aditivo y no countably aditivo?"

Si usted no requiere que la "medida" para ser una "probabilidad" (o tener sólo finito de valores), entonces la respuesta es SÍ. He aquí dos ejemplos:

Ejemplo 1:

Considere la posibilidad de $\mathbb{N}$$\Sigma=P(\mathbb{N})$. Claramente $\Sigma$ $\sigma$- álgebra. Definir $\mu : \Sigma \to [0,+\infty]$ por $\mu(A)=0$ si $A$ es finito y $\mu(A)=+\infty$ si $A$ es infinito.

Es fácil ver que $\mu$ es un finitely aditivo medida, pero no un (contables aditivo) de la medida.

Tenga en cuenta que $\mu$ no es un finitely aditiva de la probabilidad. De hecho, ni siquiera es una finito finitely aditivo medida.

Ejemplo 2:.

Considere la posibilidad de $[0,1]$ $\Sigma$ el conjunto de contables o co-contables de subconjuntos de a $[0,1]$. Claramente $\Sigma$ $\sigma$- álgebra en $[0,1]$ Definir $\mu : \Sigma \to [0,+\infty]$ por $\mu(A)=0$ si $A$ es finito y $\mu(A)=+\infty$ si $A$ es infinito.

Es fácil ver que $\mu$ es un finitely aditivo medida, pero no un (contables aditivo) de la medida.

Observe de nuevo que $\mu$ no es un finitely aditiva de la probabilidad. De hecho, ni siquiera es una finito finitely aditivo medida.

Observación 1:

Los ejemplos anteriores pueden ser incluidos en el siguiente caso general.

Deje $\Omega$ ser cualquier conjunto infinito y deje $\Sigma$ $\sigma$- álgebra en $\Omega$, de tal manera que hay infinitamente muchos finito de conjuntos en $\Sigma$, en otras palabras, el conjunto de $\{A \in \Sigma : A \textrm{ is finite }\}$ es infinito. Luego, se definen $\mu : \Sigma \to [0,+\infty]$ por $\mu(A)=0$ si $A$ es finito y $\mu(A)=+\infty$ si $A$ es infinito.

Es fácil ver que $\mu$ es un finitely aditivo medida, pero no un (contables aditivo) de la medida.

Observación 2:

Si el OP quería preguntar:

Dado CUALQUIER σ-álgebra, es posible dar una construcción explícita de un conjunto de función, definida en la que σ-álgebra, con todas las propiedades de una medida, excepto que es meramente finitely aditivo y no countably aditivo?

Entonces, la respuesta es NO, porque cualquier finitely aditivo medida en un número finito de σ-álgebra es automáticamente un (contables aditivo) de la medida.