Relaciones simétricas y$\varphi\rightarrow\square\diamond\varphi$

Question

He leído que el esquema $$\varphi\rightarrow\square\diamond\varphi$$ corresponds to the symmetric property (D. Palladino, C. Palladino, Logiche non classiche, 'non-classical logics', 2007) of the relation $R$ definidas en un modelo de Kripke a la semántica.

No estoy seguro, pero sospecho que significa que $\varphi\rightarrow\square\diamond\varphi$ es cierto para cualquier interpretación $I$, y en cualquier mundo, $u\in W$ de un modelo de $(W,R,I)$ si y sólo si la relación $R$ es simétrica.

Es muy fácil comprobar que, si $R$ es simétrica, entonces $\varphi\rightarrow\square\diamond\varphi$ es válido.

Es a la inversa verdad? Supongo que el contrapositivo podría ser utilizado para demostrar que si $(W,R,I)\models\varphi\rightarrow\square\diamond\varphi$ $R$ es simétrica, de forma análoga a lo que se ha hecho aquí por un tipo de usuario, a quien doy las gracias de nuevo, pero tengo algunos problemas en la construcción de un modelo donde $uRv$, $uRw$, $\lnot uRw$ y hay un mundo donde la $p\land\lnot\square\diamond p$ tiene... muchas Gracias por cualquier respuesta!

Answer 1

Referencia :

• Alexander Chagrov & Michael Zakharyaschev, Lógica Modal (1997), página 78.

Voy a copiar y pegar la prueba de la anterior fuente:

La proposición 3.32 : $\mathscr F$ valida $p \to \square \diamond p$ fib $\mathscr F$ es simétrica.

Sólo $(\Rightarrow)$ requiere de un puf. Si $\mathscr F= (W,R)$ no es simétrica, entonces hay $x,y \in W$ tal que $xRy$$\lnot yRx$. Definir una valoración $V \in \mathscr F$ tomando $V(p) = \{ x \}$. Luego tenemos a $x \vDash p, y \nvDash \diamond p$, de donde $x \nvDash \square \diamond p$$x \nvDash p \to \square \diamond p$.