Parte real de la integral elíptica

Question

Supongamos integral elíptica completa de primera especie: $$ \tag 1 K(k) \equiv \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dy}{\sqrt{1-k^2\sin^{2}(x)}} $$ Necesito para evaluar su parte real en el intervalo de $0 < k < \infty$.

Desde $K(k)$ ha discontinuidad en $k = 1$ y adquiere parte imaginaria, tenemos que usar la analítica continuación: $$ \tag 2 K(k) = \frac{1}{k}\left(K\left(\frac{1}{k}\right) \pm i K\left( \sqrt{1-\frac{1}{k^{2}}}\right)\right) $$ La gran sorpresa para mí, es que mediante el uso de la relación $$ K(x) = \frac{1}{1+x}K\left(\frac{2\sqrt{x}}{x+1}\right) $$ para $K(k)$ en el intervalo de $0<k<1$ $\frac{1}{k}K\left(\frac{1}{k}\right)$ en el intervalo de $1<k<\infty$, nos encontramos con que las expresiones para $\text{Re }K(k), 0 < k<1$ $\text{Re }K(k), 1 < k < \infty$ coincidir: $$ \text{Re }K(k) = \frac{1}{k+1}K\left(\frac{2\sqrt{k}}{k+1}\right) \quad 0 < k < \infty $$ Por qué esto es cierto? No me esperaba esto debido a la singularidad de $K(k)$ $k = 1$ ... Por ejemplo, la parte imaginaria en la región de $0 < k < 1$ es cero, mientras que en la región de $1 < z < \infty$ es no-cero no trivial de la dependencia funcional, haciendo un salto en $z = 1$.

Es que esto de alguna manera relacionados con las propiedades generales de la analítica continuación (que en nuestro caso particular está dado por $(2)$)?

Answer 1

• Primera nota: la función no es "analítica" a $k=1$. La parte real tiene una divergencia logarítmica.

• Segunda nota: es muy natural que "saltar" a través de la rama de corte, sólo se produce en el componente imaginario. Una observación similar de la siguiente manera para las funciones que se definen (en alguna parte del eje real) como funciones reales, debido a Schwarz principio de reflejo. E. g., se observa un comportamiento similar para la función primaria $\log z$ el (estándar) rama de corte a lo largo de la negativa real de la línea.

• Tenga en cuenta que usted puede hacer que la parte real más regular sin quitar el "salto" de la parte imaginaria a través de la rama cortada. Para que usted pueda echar un vistazo a la familia de funciones $$z^m \log z$$ con $m\geq 1$.

• Última nota: en este contexto, la transformada de Hilbert podría ayudar a guiar a su intuición. Dada cualquier función real $u(x)$, la transformada de Hilbert $v= H(u)$ ofrece otra función tal que $f_1(x) = u(x) +i v(x)$ es analítica en la mitad superior del plano (por lo tanto es una continuación analítica en la mitad superior del plano). Por Schwarz reflexión principio $f_2(x) = u(x)-i v(x)$ es una analítica de la función en la mitad inferior del plano. Si $v(x)=0$ para un intervalo a lo largo del eje real (dado por la función de $f(x)=u(x)$), $f_1$ $f_2$ son la continuación analítica de esta función en la parte superior/inferior a la mitad del plano. En la región, donde la $v\neq 0$, que obviamente solo se diferencian por un número imaginario.