Tengo una expresión que quiero a Taylor Aproximada: $$e^{-ax}$$ for some $un$ slightly bigger than $1$. Quiero a Taylor aproximado de esta en la región cercana a la $x=0$. Hay dos maneras de hacer esto:
Aproximación 1. $e^{-ax}\approx 1-ax$
Aquí estoy tomando $ax$ como la variable, y suponiendo que está cerca de a $0$.
Aproximación 2. $e^{-ax}=(e^{-x})^a\approx (1-x)^a$
Aquí estoy tomando $x$ como la variable, y suponiendo que está cerca de a $0$.
Si dibujamos esto, vemos que la segunda aproximación es la más cercana a la verdad, y esto no debería ser una sorpresa, dada su forma funcional:
Sin embargo, mi problema con estas dos aproximaciones es que no tengo una buena sensación de que el enfoque a adoptar para una aproximación de Taylor para un problema dado. Para este problema, resulta que la segunda es mejor, pero yo sólo sé esto por el trazado de ella, no por un principio general (y a veces estoy aproximar expresiones
Así que tengo un par de preguntas:
- ¿Hay algún modo general para saber qué parte de una expresión de Taylor aproximado?
- También, tenga en cuenta que si nos taylor aproximado de la segunda aproximación de nuevo, obtenemos la primera aproximación. Es esto una coincidencia? Si hacemos dos diferentes aplicaciones sucesivas de Taylor aproximación, es posible que vamos a llegar a dos expresiones lineales que son, sin embargo, no es igual ?
La última pregunta es especialmente importante, porque cuando voy a resolver un problema práctico, y tengo que hacer varias aproximaciones a una expresión compleja, me gustaría saber, si he encontrado a la única aproximación o si hay tal vez mejores.
EDIT: Aquí está una pregunta adicional que de alguna manera se relaciona a mi segunda pregunta. Si es posible encontrar una exacta relación lineal entre dos variables, a continuación, encontrar siempre la relación exacta de Taylor aproximaciones, o es posible encontrar una inexacta?
Por ejemplo, supongamos que tenemos la ecuación de $x^ay^b=z$, y supongamos que queremos encontrar una relación lineal entre los registros de $x,y,z$. Nos podría, por supuesto, acaba de tomar la $\ln$ en ambos lados para obtener $a\ln x+b\ln y=\ln z$ y hacer con ella, pero supongamos por un momento que no hemos contado esto, y pensar falsamente que la solución tiene que ser aproximada.
Así que en lugar de denotar por $X=\ln x$, y así sucesivamente, entonces podemos reescribir la ecuación como $e^{aX}e^{bY}=e^{Z}$, entonces, asumiendo $aX$ y así sucesivamente son pequeños, que se aproxima a este por $(1+aX)(1+bY)=1+Z=1+aX+bY+abXY$. Si otra vez se aproxima a este, para deshacerse de los XY (ya que queremos una ecuación lineal), obtenemos $Z=aX+bY$, es decir,$\ln z=a\ln x +b\ln y$, que es igual a la solución exacta.
Así que, de nuevo, esto plantea la pregunta: Si es posible encontrar una exacta relación lineal entre dos variables, a continuación, encontrar siempre la relación exacta de Taylor aproximaciones? O hay casos en los que esta no funciona bien? Esto sería de gran ayuda, porque significaría que si encontramos una aproximación lineal, que no tiene que preocuparse acerca de si debería haber sido aproximado en el primer lugar.
