Integral pidió en calificador de abeja MIT % 2012 $\int\frac{x-1}{(x+1)\sqrt{x^3+x^2+x}}\,dx$

Question

He estado intentando resolver esta pero no tengo ninguna pista, lo pongo en wolfram y el resultado es absurdo, considerando que éste es tomado de calificador de abeja MIT 2012, se trata de la integral: $$\int\frac{x-1}{(x+1)\sqrt{x^3+x^2+x}} \, dx$ $

Answer 1

$$\begin{align} \int\frac{x-1}{x+1}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^3+x^2+x}} &=\int\frac{x^{-1/2}-x^{-3/2}}{x^{1/2}+x^{-1/2}}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\left(x^{1/2}+x^{-1/2}\right)^2-1}}\\ &=2\int\frac1{x^{1/2}+x^{-1/2}}\frac{\mathrm{d}\!\left(x^{1/2}+x^{-1/2}\right)}{\sqrt{\left(x^{1/2}+x^{-1/2}\right)^2-1}}\\ &=2\int\frac1u\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{u^2-1}}\\[9pt] &=2\sec^{-1}(u)+C\\[15pt] &=2\sec^{-1}\left(x^{1/2}+x^{-1/2}\right)+C \end {Alinee el} $$

Answer 2

Puede reescribir el integrando como

$$ \frac{(x-1)(x+1)} {(x+1) ^ 2\sqrt {x ^ 2\left(x + \dfrac{1}{x} + 1\right)}} = \frac{x^2 - 1} {(x ^ 3 + 2 x ^ 2 + x) \sqrt {x + \dfrac{1}{x} + 1}} \\ = \frac{1 - \dfrac{1}{x^2}}{\left (x + \dfrac{1}{x} + 2 \right)\sqrt{x + \dfrac{1}{x} + 1}} $$

Luego realizar la sustitución $u^2 = x + \dfrac{1}{x} + 1$ llegar

$$ \int \frac{2}{u^2+1} du = 2\arctan u + C $$