Preimagen de generados $\sigma$ -álgebra

Question

Para una colección de conjuntos $A$ , dejemos que $\sigma(A)$ denotan el $\sigma$ -generada por $A$ .

Sea $C$ sea una colección de subconjuntos de un conjunto $Y$ y que $f$ sea una función de algún conjunto $X$ a $Y$ . Quiero probar:

$$f^{-1}(\sigma(C))=\sigma(f^{-1}(C))$$

Podría probar que $$\sigma(f^{-1}(C)) \subset f^{-1}(\sigma(C))$$ ya que los complementos y las uniones son "preservados" por la función inversa. Pero, ¿cómo hago para ir en sentido inverso?

EDIT: Una forma de ir por otro camino sería argumentar que cualquier conjunto en $\sigma(C)$ debe ser construido por repetidamente aplicando las operaciones de complemento, unión e intersección a elementos de $C$ y todas estas operaciones se conservan al tomar la inversa. El problema al que me enfrento con este planteamiento es la formalización de la palabra "repetidamente".

[no deberes]

Answer 1

Sí, nosotros puede utilizar la inducción transfinita para demostrarlo (formalizando la palabra "repetidamente"). Ese sería el enfoque ascendente. También existe un enfoque descendente, utilizando la caracterización de $\sigma(C)$ como el más pequeño $\sigma$ -que contiene $C$ .

Un hecho clave aquí es que la operación de preimagen conmuta con todas las operaciones del álgebra de conjuntos: si $f \colon X \to Y$ entonces

• $f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$
• $f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$
• $f^{-1}(A - B) = f^{-1}(A) - f^{-1}(B)$ . En particular $f^{-1}(Y - A) = X - f^{-1}(A)$ .

etc. Así que $f^{-1}\colon P(Y) \to P(X)$ es un homomorfismo de red en las redes de conjuntos de potencias, por usar esa terminología. Y lo que es más importante para nosotros, la operación de preimagen conmuta incluso con uniones e intersecciones infinitas.

Para demostrar que $f^{1}(\sigma(C)) \subseteq \sigma(f^{1}(C))$ podrías seguir esta estrategia:

• Demuestra que $f^{-1}(C) \in \sigma(f^{-1}(C))$
• Demuestre que si $f^{-1}(A_i) \in \sigma(f^{-1}(C))$ para $i \in \omega$ entonces $f^{-1}(\bigcup A_i) \in \sigma(f^{-1}(C))$
• Demuestre que si $f^{-1}(A) \in \sigma(f^{-1}(C))$ entonces $f^{-1}(Y - A) \in \sigma(f^{-1}(C))$

La cuestión aquí es que, si dejamos que $D$ sea la colección de conjuntos $A$ tal que $f^{-1}(A) \in \sigma(f^{-1}(C))$ entonces $D$ es a su vez un $\sigma$ álgebra que contiene $C$ lo que significa $\sigma(C) \subseteq D$ . Pero según la definición de $D$ esto significa $f^{-1}(\sigma(C)) \subseteq \sigma(f^{-1}(C))$ .

Ninguna de las tres viñetas requerirá la toma de imágenes de avance bajo $f$ . Por ejemplo, para la tercera $A$ ser como se indica. Es decir $f^{-1}(A)$ está en $\sigma(f^{-1}(C))$ lo que significa que $X - f^{-1}(A)$ también está en $\sigma(f^{-1}(C))$ . Pero $f^{-1}(Y - A)$ es exactamente $X - f^{-1}(A)$ por lo que vemos que $f^{-1}(Y - A)$ está en $\sigma(f^{-1}(C))$ .

El punto subyacente aquí es que toda la prueba es algebraica y que un teorema más general es cierto: se puede sustituir $f^{-1}$ con cualquier otro homomorfismo de los retículos de conjuntos de potencias que preserve las uniones contables.

Answer 2

Edita: La respuesta original que estaba aquí es incorrecta; la respuesta de Carl Mummert contiene la forma correcta de hacer lo que yo intentaba. Así que en su lugar aquí está la solución por inducción transfinita.

Definir una secuencia de funciones $\sigma_i$ où $i$ es un ordinal como sigue. Para cualquier subconjunto $C$ del conjunto base $E$ tomamos $\sigma_0(C) = C$ . Si $i$ es un ordinal sucesor Toma $\sigma_i(C)$ como el conjunto de todas las uniones o complementos contables de elementos de $\sigma_{i-1}(C)$ ; de lo contrario $i$ es un límite ordinal y tomamos $\sigma_i(C) = \bigcup_{j < i} \sigma_j(C)$ . Por ejemplo, $\sigma_{\omega}(C)$ es el conjunto de todos los conjuntos que pueden obtenerse a partir de $C$ realizando la unión contable o el complemento contablemente muchas veces.

Nos gustaría decir que $\sigma(C)$ es la unión de los $\sigma_i(C)$ sobre todos los ordinales $i$ pero los ordinales no forman un conjunto, así que no podemos hacerlo. Lo que creo que es cierto es que sólo tenemos que tomar ordinales de cardinalidad como máximo la cardinalidad del conjunto de potencias del conjunto subyacente.

Si eso es cierto, la prueba es la siguiente. Basta con demostrar que $f^{-1}(\sigma_i(C)) = \sigma_i(f^{-1}(C))$ para todos $i$ . Esto es obvio para $i = 0$ . Si es cierto para todos los ordinales $j < i$ entonces es cierto para $i$ por el argumento obvio. Y ahora estamos hechos por el principio de inducción transfinita .

Permítanme señalar que, por un lado, esto es más complicado que la prueba de Carl Mummert, ya que requiere el conocimiento de los ordinales. Por otra parte, entrar en el meollo de la cuestión de esta manera realmente muestra lo complicado que es $\sigma$ - pueden ser álgebras.

Answer 3

Esto no es más que un resumen de la respuesta de Carl Mummert de forma un poco más sistemática.

Se nos da $f:X \rightarrow Y$ . Además, utilizaré letras minúsculas (por ejemplo, $x$ ) para los miembros de $X$ ou $Y$ letras mayúsculas (por ejemplo, $A$ ) para subconjuntos de $X$ ou $Y$ y fuente script (por ejemplo, $\mathscr{A}$ ) para conjuntos de subconjuntos de $X$ ou $Y$ .

1. Repasemos las siguientes definiciones:

• $f(A) = \{ f(x) | x\in A\} \text{ for } A \subset X$ .

• $f^{-1}(B) = \{ x | f(x) = y \text{ and } y\in B\} \text{ for } B \subset Y$ .

• $f(\mathscr A) = \{ f(A) | A\in \mathscr{A} \}$ para $\mathscr A$ una clase de subconjuntos de $X$ .

• $f^{-1}(\mathscr B) = \{ f^{-1}(B) | B \in \mathscr{B} \}$ para $\mathscr B$ una clase de subconjuntos de $Y$ .

2. Y también introduzcamos una nueva definición:

• $f^{*}(\mathscr A) = \{ f(A) | A \in \mathscr{A} \text{ and } f^{-1}(f(A)) \in \mathscr A \}$ para $\mathscr A$ una clase de subconjuntos de $X$ . En general, $f^{*}(\mathscr A) \subset f(\mathscr A)$ pero la inversa puede ser errónea.

3. Tenemos que demostrar las siguientes afirmaciones:
   • (3.1) Si $\mathscr A$ es un $\sigma$ -entonces también lo es $f^{*}(\mathscr A)$ .
   • (3.2) Si $\mathscr B$ es un $\sigma$ -entonces también lo es $f^{-1}(\mathscr B)$ .
   • (3.3) $f^{*}(f^{-1}(\mathscr B)) = \mathscr B.$
   • (3.4) $f^{-1}(f^{*}(\mathscr A)) \subset \mathscr A.$

Ahora para demostrar que $f^{-1}(\sigma(\mathscr B)) \subset \sigma(f^{-1}(\mathscr B))$ podemos escribir:

$\begin{aligned} &\mathscr B \subset \mathscr B \Rightarrow \\ \text{from (3.3): } &\mathscr B \subset f^{*}(f^{-1}(\mathscr B)) \Rightarrow \\ \text{since } \mathscr (.) \subset \sigma((.))\text{: } &\mathscr B \subset f^{*}(\sigma(f^{-1}(\mathscr B))) \Rightarrow \\ \text{from (3.1): }&\sigma(\mathscr B) \subset f^{*}(\sigma(f^{-1}(\mathscr B))) \Rightarrow \\ \text{from (3.4): }&f^{-1} (\sigma(\mathscr B)) \subset f^{-1}(f^{*}(\sigma(f^{-1}(\mathscr B)))) \subset \sigma(f^{-1}(\mathscr B)). \quad \blacksquare \end{aligned}$

Answer 4

Parece una tarea.

Yo no tenía tiempo para comprobar los detalles (estoy en el trabajo y mi jefe está mirando), sin embargo, me parece que el siguiente enfoque debería funcionar:

Paso 1: probar que $f^{-1}(\sigma(C))$ $\sigma$- álgebra.

Paso 2: usted debe ser capaz de concluir, si usted entiende lo $\sigma(f^{-1}(C))$ medios.

EDITAR:

Lo siento, tienes razón, he leído tu pregunta demasiado rápido. Mis pasos sólo le ayudará a conseguir la inclusión de los que ya tenía.

No estoy seguro si este nuevo enfoque de trabajo, pero me gustaría:

1/ considerar la $f(\sigma(f^{-1}(C)))$ y tratar de probar que es un $\sigma$-álgebra.

2/ 1/ es de hecho, demostrar que es un $\sigma$-álgebra que contiene $C$.

3/ Si 1/ y 2/ ok, entonces eso significa que tenemos $\sigma(C) \subset f(\sigma(f^{-1}(C)))$ y usted puede entonces concluir.

A mí me parece que 1 es cierto, no tengo tiempo para hacer los detalles.

EDIT 2:

ok, yo soy el segundo enfoque no parece estar funcionando bien. Me decidí a hacer un poco de investigación, y en realidad se puede encontrar la prueba en línea. Aquí está:

Vamos $S =${ $B \in \mathcal{P}(Y); f^{-1}(B) \in \sigma(f^{-1}(C))$}.

A continuación, $S$ $\sigma$- álgebra que contiene $C$. Por lo tanto,$\sigma(C) \subset S$$f^{-1}(\sigma(C)) \subset f^{-1}(S)$. Pero, por definición, $f^{-1}(S) \subset \sigma(f^{-1}(C))$.

Lo siento por mi "sugerencias", que no eran realmente útiles.