¿Es que una simple prueba de que si $(b-a)(b+a) = ab - 1$, entonces el $a, b$ deben ser números de Fibonacci?

Question

¿Es que una simple prueba de que si $(b-a)(b+a) = ab - 1$, entonces el $a, b$ deben ser números de Fibonacci?

Preguntado el 3 de Diciembre, 2017: Cuando se hizo la pregunta
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Demostrar la desigualdad de $\left|\frac{m}{n}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right|<\frac{1}{mn}$ (2 respuestas )

Considerar la identidad de $(b-a)(b+a) = ab - 1$ donde $a, b$ son números enteros no negativos.

También podemos expresar esta identidad como $a^2 + ab - b^2 = 1$.

Esta identidad es claramente cierto al $a = F_{2i-1}$ $b = F_{2i}$ donde $F_i$ $i^{th}$ término de la secuencia de Fibonacci. Esto es equivalente a un caso de la nave Cassini de la identidad, $(F_{2i-1})(F_{2i+1}) = F_{2i}^2 + 1$, y es fácil de probar por inducción o varios otros simples y elementales medios.

Mi pregunta es esta: ¿hay una simple elemental prueba de que estos números de Fibonacci son sólo soluciones de esta identidad?

Por simples y elementales de la prueba, lo ideal sería que me refiero a una prueba de uso de métodos y pasos que matemáticamente talentoso estudiante de la escuela secundaria podría seguir y entender. Alternativamente, se podría definir como una prueba de uso de métodos que han sido conocidos por los matemáticos en la Cassini tiempo, a finales del siglo 17. En otras palabras, estoy buscando una prueba de que no confían en los métodos más avanzados como cuadrática número de campos o de la generalización de las soluciones de ecuaciones de Pell.

Preguntado el 3 de Diciembre, 2017 por Geoffrey Caveney

Answer 1

3 Respuestas

Answer 2

8voto

John Hughes Puntos 27780

Este es un enfoque:

Paso 1a: Demostrar que si $a$ $b$ de satisfacción de este, y $0 < a < b$, $a' = (b-a)$ $b' = a$ también satisfacer y tener $a' \le b' < b$, por lo que el máximo valor absoluto de los dos elementos en el par disminuye

¿Qué diablos...vamos a comprobar que: queremos demostrar que $(b' - a') (b' + a') - (a'b' -1) $ es cero. Para calcular \begin{align} (b' - a') (b' + a') - (a'b' -1) &=(a - (b-a)) (a + (b-a)) - (a(b-a) -1)\\ &=(2a - b)) (b)) - (a(b-a) -1)\\ &=2ab - b^2 - ab + a^2 +1 \\ &=ab - b^2 + a^2 +1 \end{align} que es $0$ porque $a$ $b$ satisfacer la relación, que se expandió dice que $b^2 - a^2 - ab + 1 = 0$.

Caso 1b: si $b < a < 0$, $b' = b-a$ $a' = b$ hacer así, y $b' < a' < 0$, e $|b'| = |a| < |b|$. Prueba: exactamente el mismo que antes. Una vez más, el máximo valor absoluto de los dos elementos en el par disminuye.

Caso 1c: $b$ $a$ tienen signos opuestos. Si $b$ es positivo, $a$ es negativo, y $|a| > |b|$. Si $b$ es negativa, entonces la $a$ es positivo, por lo $b-a$ es negativo, por lo $b+a$ es positivo, y una vez más,$|a| > |b|$. De nuevo, con un argumento como el anterior, el par $(a, b)$ se puede ajustar a un par $(b, a-b)$ cuando el número más grande (en valor absoluto) es menor en el nuevo par que en el anterior, es decir, el máximo valor absoluto de los dos elementos en el par disminuye.

Otros casos: usted todavía tiene que lidiar con otros casos similares en formas más bien como esta, y no tengo el estómago para ir a través de todo.

Paso 2: a la Conclusión de que para cualquier par, se puede reducir el par a una menor (en el sentido de max-valores absolutos) par de números, hasta que hasta que $a = b$ (que no menos $a = b = \pm 1$).

Paso 3: a la Conclusión de que nuestra pareja es parte de la secuencia que surge de $(1, 1) \to (1, 2) \to (2, 3) \to (3, 5) \to ...$, es decir, el F-secuencia.

[Esto no sólo considerar el caso en que $0 < a < b$; el $a=b$ caso es trivial (de hecho, el Paso 2 direcciones de ella); $a > b$ caso ciertamente puede ser manejado por esencialmente el mismo método. En el caso de que $a$ o $b$ es igual a cero no debe ser difícil para un brillante estudiante de secundaria.]

Respondido el 3 de Diciembre, 2017 por John Hughes (27780 Puntos )

Answer 3

2voto

Lord Shark the Unknown Puntos 1571

Abrir esta hasta resolver $a^2+ab-b^2=\pm1$ en enteros positivos. A menos que $a$ y $b$ son muy pequeñas, entonces el $a<b$. Que $c=b-a$. Entonces $$c^2+ca-a^2=(b-a)^2+(b-a)a-a^2=-a^2-ab+b^2=\mp1.$ $ así que si $c$ y $a$ son consecutivo Fibonacci entonces son tan $a$ y $b$.

Para completar esto, hay que analizar las soluciones para pequeños $a$ y $b$ para comenzar la inducción.

Respondido el 3 de Diciembre, 2017 por Lord Shark the Unknown (1571 Puntos )

Answer 4

1voto

Stephan Aßmus Puntos 16

Resulta que tengo un diagrama de Conway topograph pdf para esto. La simple declaración de que "el río está en los periódicos." Esto significa que, si podemos encontrar todas las soluciones dentro de un período, los tenemos todos.

Reciente libro de Allen Hatcher pdf

TAMBIÉN: el Reciente libro en una bastante nivel elemental: Weissman

Se descomponen más, esto significa que cualquier solución a $a^2 + ab - b^2 = 1$ lleva a la otra, $$ (a,b) \mapsto (a+b, a + 2b) $$ Como se puede ver en el (vertical) de los vectores cuando la forma de valor es $1,$ esto hace que $a,b$ consecutivos de Fibonacci, por inducción.

Como se puede ver, me baso en el poco $(x,y)$ "coordinar" los pares como vectores columna. Esto es crucial para mi enfoque; los otros dos libros, en realidad, no pulse este aspecto, pero se hace bien en Stillwell, Elementos de Teoría de los números.

He dibujado una parte del río, con colores como en los diagramas de árbol, y que muestra las posiciones relativas de los valores de $11.$ I han trabajado en cómo la fuerza la da la asignación de $ (a,b) \mapsto (a+b, a + 2b) $ a medida que nos movemos a la derecha, o $ (a,b) \mapsto (2a-b, -a + b) $ a medida que nos movemos a la izquierda.

Había una pregunta en el comentario acerca de la $a^2 + ab - b^2 = 11.$ es suficiente para dibujar una sola "árbol" de los valores positivos de la escalada de distancia del río. Vemos a $11$ $(a,b)$ pares de $(3,1)$ $(3,2).$ Todas las otras soluciones positivas $(a,b)$ ocurre en otros árboles a lo largo del río. Se pueden encontrar con $ (a,b) \mapsto (a+b, a + 2b) .$ En el árbol de al lado a la derecha, llegamos $(4,5)$ $(5,7).$ Un segundo árbol a la derecha, llegamos $(9,14)$ $(12,19).$ También, de Cayley-Hamilton dice que tenemos dos órbitas bajo un par de lineal de grado dos recurrencias, $$ a_{n+2} = 3 a_{n+1} - a_n, $$ $$ b_{n+2} = 3 b_{n+1} - b_n. $$ Yo escribí una simple prueba sin el uso de Cayley-Hamilton en ¿Cómo se soluciona esto de la recurrencia de la relación?