$T: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$, $n>m$, $\operatorname{rank}(dT)=m$, mostrar $T$ mapas conjuntos abiertos para abrir sets.

Question

Supongamos que $T: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$, $n>m$, con $dT$ tener rango $m$ en todos los puntos en un conjunto abierto $D \subset \mathbb{R}^n$. ¿Qué es una prueba de que $T$ mapas de $D$ a un conjunto abierto en $\mathbb{R}^m$?

Una cosa que estoy pensando es que $dT$ no tiene un cero de la fila, de modo que en cada punto de $p\in T(D)$, ningún componente es independiente del dominio...para cada componente $y_j$ en el de destino, en un punto de $p\in T(D)$, hay alguna variable $x_i$ en el dominio de tal forma que si nos meneo $x_i$, $y_j$ deben mover demasiado. Esto nos debe permitir demostrar que $T(D)$ está abierto, a la derecha (ya que por "mover" en cada componente de la meta, se puede conseguir un abrir barrio)? De hecho, $T(S)$ está abierto para $S\subset D$ abierto.

Es este el estándar de prueba, o es que hay un "limpiador"?

Answer 1

Para cada $x\in \mathbb R^n$ el diferencial de la matriz $dT(x)$ tiene un valor distinto de cero $m\times m$ menor. Elegir las columnas de este menor de edad (es decir, $i_1,\dots, i_m$) y restringir su atención a la subespacio afín $x+P$ donde $P$ es el subespacio generado por la base de vectores $x_{i_1},\dots,x_{i_m}$. La restricción de $T$ $x+P$satisface las hipótesis del teorema de la función inversa. Por lo tanto, se restringe a un diffeomorphism de un barrio de $x $ $x+P$ en un barrio de $T(x)$$\mathbb R^m$. En consecuencia, la imagen de cualquier conjunto abierto que contiene a $x$ contiene $T(x)$ como un punto interior. El reclamo de la siguiente manera.

Answer 2

Rango completo de $dT$ implica que el mapa es una inmersión en ese punto. En esencia, esto significa que en virtud de un adecuado cambio de coordenadas (en el dominio y codominio), el mapa actúa como una proyección. Este es un teorema llamado el Local de la Inmersión Teorema. He aquí cómo el argumento de los fondos:

Fijar un punto de $x\in U$. Para algunos la elección de los gráficos, se obtienen dos diffeomorphisms $\phi:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^m$ $\psi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ y una proyección de $\pi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ de manera tal que en una adecuada dominio restringido, $T= \phi\circ\pi\circ \psi^{-1}$. Sería fácil ver si saco esto en un diagrama conmutativo. Por lo tanto, $T$ es una carta abierta en esta restricción (desde diffeomorphisms y proyecciones están abiertas y las composiciones de mapas abiertos están abiertos) y podemos elegir de una pequeña bola de $B_x\subset U$$x$. De ello se desprende que $T(B_x)$ está abierto y en el interior de la imagen $T(U)$ por la construcción. El reclamo sigue observando que $$T(U)=\bigcup_{x\in U} T(B_x).$$