¿Es esta pregunta mal? Me estoy poniendo $\frac{\pi}{4}$

Question

De nuevo pasando por el IIT avanzado preguntas, me encontré con este:

Pregunta: Supongamos $f(x)=3x^3-13x^2+14x-2$ $\alpha,\beta,\gamma$ son las raíces de $f(x)=0$ tal que $\alpha<\beta<\gamma $ $$\tan^{-1}([\alpha])+\,\tan^{-1}([\beta-1])+\,\tan^{-1}([\gamma-1]) =\,??$$

Nota: $[x]$ simboliza el Mayor Entero menor o igual a $x$

Opciones: a: $\frac{3\pi}{4}$ B: ${\pi}$ C: $\frac{\pi}{2}$ D: no Puede ser Decidido

Me di cuenta de $\alpha$$(0,1)$, $\beta$ $(1,2)$ $\gamma$ $(2,3)$ . de acuerdo a eso, la respuesta debe venir a $\frac{\pi}{4}$ pero no hay ninguna opción dada. Alguna ayuda por favor?

Answer 1

Parece a mí que tienes razón: tenemos

$$f(0)=-2<0$$

$$f(1)=3-13+14-2=2>0$$

$$f(2)=24-52+28-2=-2<0$$

$$f(3)=81-117+42-2=4>0,$$ so by the Intermediate Value Theorem we have the zeroes arranged as you say. In particular, we have $$[\alpha]=0, [\beta-1]=0, [\gamma-1]=1,$$ so $\tan^{-1}([\alpha]) + \tan^ {-1}([\beta-1]) + \tan^ {-1}([\gamma-1]) = 0 +0 + {\pi\over 4} = {\pi\over 4}. $

¿Tal vez sea un error (ya sea en el problema o cómo ha copiado abajo)?