¿Qué significa la incertidumbre en el principio de incertidumbre de Heisenberg?

Question

El El principio de incertidumbre de Heisenberg afirma lo siguiente:

$$\Delta p \cdot \Delta x \ge \frac{h}{4\pi}.$$

Mientras estudiaba para mis exámenes de física del instituto, me engañé a mí mismo creyendo que entendía el principio de incertidumbre (al menos las implicaciones). Pero de repente la pregunta que me ronda es la siguiente. Si la incertidumbre $\Delta x$ de un electrón es de 1,2 nm, ¿implica que la probabilidad de que la coordenada x se encuentre en un rango de 1,2 nm, es igual al 100%? ¿O significa que la probabilidad es del 95%? ¿O significa algo totalmente diferente?

Me pregunto por qué ningún autor lo ha dejado claro en los libros de texto de nivel de secundaria y bachillerato. No estoy seguro de lo que significa la incertidumbre.

Answer 1

David expuso la matemática del principio de incertidumbre.

El significado del principio de incertidumbre se puede entender si se observa un aparato experimental que lo ilustra. Si se intenta medir la posición de una partícula con una precisión, entonces el mismo aparato experimental no puede medir el momento con una precisión mayor que la dada por el corte del momento.

Como ilustración, considere el experimento de la doble rendija. La medición de la posición se realiza con una precisión correspondiente a la de la anchura de la rendija. Hay un intercambio incontrolable de momento entre la rendija y la partícula, que se manifiesta como una incertidumbre en el momento del fotón que sale de la rendija.

Recomiendo encarecidamente la exposición de Bohr. http://www.marxists.org/reference/subject/philosophy/works/dk/bohr.htm

Answer 2

$\Delta x$ es realmente el desviación estándar en $x$ , $\sigma_x$ . Así que la probabilidad de encontrar la partícula dentro de $\Delta x$ se trata de $68\%$ . Lo mismo ocurre con el impulso.

En respuesta a la otra respuesta, el formalismo de la Transformada de Fourier muestra de hecho que si la distribución de probabilidad de $x$ es una distribución normal, la desviación estándar = $\sigma_x$ . La probabilidad de que una variable aleatoria se encuentre dentro de 1 sigma de la media es 68.27%.

Answer 3

Para una partícula que tiene una función de onda posición-espacio $\psi(x)$ la incertidumbre en la posición, denotada $\sigma_x$ o $\Delta x$ (prefiero la primera), viene dada por

$$\begin{align} \sigma_x^2 &= \langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2 \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)x^2\psi(x)\,\mathrm{d}x - \biggl[\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)\,x\,\psi(x)\,\mathrm{d}x\biggr]^2 \end{align}$$

y la incertidumbre en el momento, denotada $\sigma_p$ o $\Delta p$ viene dada por

$$\begin{align} \sigma_p^2 &= \langle p^2\rangle - \langle p\rangle^2 \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)\biggl(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\biggr)^2\psi(x)\,\mathrm{d}x - \biggl[\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)\biggl(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\biggr)\psi(x)\,\mathrm{d}x\biggr]^2 \end{align}$$

Página de Wikipedia sobre el principio de incertidumbre contiene una demostración utilizando estas definiciones.

Estas definiciones no implican nada sobre la probabilidad de encontrar la partícula dentro del rango especificado por la incertidumbre.

Answer 4

Cualquier libro de texto sobre mecánica cuántica que conozco da la definición de $\Delta p$ y $\Delta x$ .

Aparte de la respuesta puramente matemática, considere esto desde un punto de vista físico. La única posibilidad de restringir un electrón dentro de una caja de 1,2 nm de ancho es aplicando una fuerza infinita en los bordes. En realidad, la función de onda del electrón se extenderá por todo el espacio y la probabilidad de encontrar el electrón fuera de la caja será distinta de cero.