Grupo fundamental de la $X = \{(p, q)|p \neq −q\}\subset S^n \times S^n$

Question

Este problema aparece en el Capítulo 2, ejercicio 3 a partir de "Un breve Curso de Topología Algebraica J. P. de Mayo" del libro.

Deje $X = \{(p, q)|p \neq −q\}\subset S^n \times S^n$. Definir un mapa de $f:S^n\to X$$f(p) = (p, p)$. Demostrar que $f$ es un homotopy de equivalencia.

Intento:

Necesito un mapa de $g:X\to S^n$ tal que $f\circ g\sim 1_X$$g\circ f\sim 1_{S^n}$.

Supongo que un mapa es $g=\pi_1$ de la primera proyección. Satisface $g\circ f= 1_{S^n}$ pero tengo problemas para demostrar que $f\circ \pi_1\sim 1_X$. Ni siquiera puedo dibujar lo que está sucediendo en el caso de $n=1$ (un subconjunto de toro que no me puedo imaginar).

Un buen corolario es: El grupo fundamental de la $X$ es trivial si $n>1$ $\mathbb{Z}$ al $n=1$.

Answer 1

Sugerencia: para $(p,q)\in X$, $p\ne -q$ %. Es decir, hay una única geodésica de $p$ $q$ (el pequeño arco del gran círculo que contiene $p$ y $q$). Esto puede usarse para construir una homotopía de $(p,q)$ $(p,p)$.

Answer 2

Solución 1.

Vamos$$g: X \to S^n, \text{ }(p, q) \mapsto p.$$We see that $g \circ f = \text{Id}_{S^n}$. Now, let $(p, q) \in X$. There is a well-defined shortest path $\lambda_{p, q}: [0, 1] \S^n$ starting at $p = \lambda_{p, q}(0)$ and ending at $q = \lambda_{p, q}(1)$, as $p \neq -p$. Define$$H : X \times [0, 1] \to X,\text{ }H(p, q, t) = (p, \lambda_{p, q}(t)).$$Then$$H(p, q, 0) = (p, p) = (f \circ g)(p, q),\text{ }H(p, q, 1) = (p, q) = \text{Id}_X(p, q).$$Moreover, it is easy to see that $H$ is continuous. (This is at least easy to give a handwaving argument for. Basic open sets in $X$ look like direct products of epsilon balls inside $S^n$. These have preimages under $H$ of direct products of epsilon balls in $X$, crossed with $[0, 1]$, which are of course open in the product topology.) Thus, $f \circ g$ is homotopic to $\text{Id}_X$. Hence, $f$ is a homotopy equivalence between $X$ and $S^n$.

Solución 2.

Nos muestran que $X$ es la tangente paquete de $S^n$. La forma de ver esto es para visualizar el espacio de la tangente en un punto de $p$ como hyperplane $\mathbb{R}^{n+1}$ con origen en $p$ y, a continuación, doblar el avión sobre el segundo $S^n$ factor de uso de la proyección estereográfica. Vemos que los únicos puntos en $S^n \times S^n$ que perdemos con esta operación son los anti-diagonal puntos. Ahora, la sección cero en virtud de esta identificación de $X$ $TS^n$ es de la diagonal. Por lo tanto, $X$ deformación se retrae en la diagonal. Desde $f$ es un isomorfismo de $S^n$ con la diagonal, es un homotopy equivalencia entre el$S^n$$X$.

Solución 3.

Aquí es una forma de demostrar el resultado de la utilización de la maquinaria, pero sin la topológico de visualización. Tenga en cuenta que tanto en el ámbito y $X$ CW-complejos, y por lo tanto, sólo tenemos que demostrar que $f$ induce isomorphisms en homotopy grupos. De hecho, para $n > 1$. Ahora, usando la misma $\pi$, como antes, de hecho es suficiente para mostrar que $\pi$ induce isomorphisms en homotopy grupos. Ahora, $\pi$ ya induce un surjection en homotopy grupos, y por tanto, desde el homotopy grupos de la esfera son finitely generado, sólo necesitamos mostrar que tanto la esfera y $X$ tienen el mismo homotopy grupos. Esto puede ser hecho usando el largo de la secuencia exacta de un fibration. $\pi$ es un fibration con contráctiles de la fibra $\mathbb{R}^{n+1}$, y por lo tanto, la homotopy grupos de $X$ son los mismos que los homotopy grupos de la esfera.

Answer 3

Ya que yo no veo a nadie a escribir esta bastante simple homotopy explícitamente:

Considere la posibilidad de $S^n$ como el subespacio de $\mathbb R^{n+1}$ definido por $\|x\|=1$. Estamos buscando un homotopy entre el $f\circ \pi_1$ $\operatorname{id}_{X}$ donde $f\circ \pi_1$ es de $(p,q)$$(p,p)$. Desde $p\neq -q$$(p,q)\in X$, tenemos una bien definida homotopy \begin{align*} H \colon X\times I&\longrightarrow X,\\ \big((p,q),t\big) &\longmapsto \left( p, \frac{(1-t)q+tp}{\|(1-t)q+tp\|}\right). \end{align*} Tenga en cuenta que desde $p\neq -q$ la línea recta parametrizadas por $t\mapsto (1-t)q+tp$ no pasa por el origen. La continuidad de la $H$ ahora es sólo una cuestión de la continuidad de la norma, de la toma de cocientes de funciones continuas, etc.

Efectivamente estamos tomando una línea recta homotopy en el segundo $S^n$ y proyectando radialmente sobre la esfera, que los rendimientos de la geodesics se describen en las otras respuestas.